如何在Python中找到字符串中的最长重复子序列？

在字符串处理的领域中，最长重复子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是一个经典问题。它可以被用于许多应用场景，例如序列对齐、基因组学、自然语言处理等。

通俗地来说，最长重复子序列指的是一个字符串中最长的既是自己的子序列又是自己的子串的子序列。比如字符串“ABAAB”，它的最长重复子序列是“ABA”。

下面，我们将介绍如何在Python中找到字符串中的最长重复子序列。

1. 动态规划法

动态规划法是解决LCS问题的常用方法。它的思路是：对于两个字符串s1和s2，定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示s1的前i个字符与s2的前j个字符之间的LCS长度。

接下来，我们可以用以下的递推式计算dp[i][j]：

if s1[i] == s2[j]:
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

其中，当s1[i]s2[j]时，说明s1和s2的第i个和第j个字符相同，因此它们可以组成LCS。此时dp[i][j]的值等于dp[i-1][j-1]+1。

当s1[i]!=s2[j]时，说明s1和s2的第i个和第j个字符不同。此时我们有两种选择：要么不选s1[i]，要么不选s2[j]。因此dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值。

找到s1和s2的最长重复子序列，只需要从dp[n1][n2]（其中n1和n2分别是s1和s2的长度）开始逆推，直到dp[0][0]为止。

下面是Python代码实现：

def lcs(s1, s2):
    n1, n2 = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n2+1) for _ in range(n1+1)]

    for i in range(1, n1+1):
        for j in range(1, n2+1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

    l = dp[n1][n2]
    res = []
    i, j = n1, n2
    while l > 0:
        if s1[i-1] == s2[j-1]:
            res.append(s1[i-1])
            i -= 1
            j -= 1
            l -= 1
        elif dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1

    return ''.join(reversed(res))

这里的时间复杂度是O(n1 * n2)，空间复杂度也是O(n1 * n2)。

2. 后缀数组法

后缀数组是字符串处理中的一种常用技术。它可以用O(nlogn)的时间复杂度预处理出一个字符串的后缀数组sa，其中sa[i]表示所有以第i个位置开头的后缀在原字符串中的首个位置。

当我们需要在字符串中查找某个子串时，可以先在后缀数组中用二分查找找到它的起始位置和结束位置，从而可以找到它在原字符串中的位置。

如果我们将原字符串和它的逆序字符串拼接在一起，并在它们相邻字符之间加上一个不在原字符串中出现的特殊字符（如$），那么原字符串中的最长重复子序列就变成了它对应的后缀数组中相邻的两个字符串的LCP（最长公共前缀）。

具体地，我们可以先用以下代码求出原字符串和它的逆序字符串的后缀数组：

def get_sa(s):
    n = len(s)
    sa = list(range(n))
    rank = [s[i] for i in sa]
    k = 1
    while k < n:
        r_temp = rank[:]

        key = lambda x: (r_temp[x], r_temp[x+k] if x+k < n else -1)
        sa.sort(key=key)

        rank[sa[0]] = 0
        for i in range(1, n):
            if key(sa[i-1]) != key(sa[i]):
                rank[sa[i]] = rank[sa[i-1]] + 1
            else:
                rank[sa[i]] = rank[sa[i-1]]
        k <<= 1
    return sa

然后，我们可以用以下代码求出对应的LCP数组：

def get_lcp(s, sa):
    n = len(s)
    rank = [sa[i] for i in range(n)]

    h = 0
    lcp = [0] * n
    for i in range(n):
        j = rank[i]
        if j == 0:
            continue
        k = sa[j-1]
        while i+h < n and k+h < n and s[i+h] == s[k+h]:
            h += 1
        lcp[j] = h
        h = max(h-1, 0)
    return lcp

最后，我们只需要在LCP数组中找到最长的LCP值对应的区间，即为原字符串中的最长重复子序列。

以下是实现代码：

def lrs(s):
    n = len(s)
    s_rev = s[::-1]
    s_new = s + '$' + s_rev + '#'

    sa = get_sa(s_new)
    lcp = get_lcp(s_new, sa)

    max_len = 0
    idx = 0
    for i in range(1, len(s_new)):
        if lcp[i] > max_len and ((sa[i-1] < n and sa[i] >= n) or (sa[i-1] >= n and sa[i] < n)):
            max_len = lcp[i]
            idx = sa[i]

    return s[idx:idx+max_len]

这里的时间复杂度是O(nlogn)，空间复杂度是O(n)。