python构造正交多项式|极客笔记

python构造正交多项式

在数值计算中，正交多项式是一种非常重要的数学工具，它们可以用来解决一些复杂的数值计算问题，如积分、插值、逼近等。在本文中，我们将讨论如何使用Python构造正交多项式并进行演示。

正交多项式简介

正交多项式是一组由内积为零的多项式，也就是说对于不同的多项式，它们之间的内积为零。在数值计算中常用的正交多项式包括Legendre多项式、Chebyshev多项式、Hermite多项式等。

Legendre多项式

Legendre多项式是最早被研究和使用的正交多项式之一，它可以通过Rodrigues公式定义为：

$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 – 1)^n$

其中 $n$ 为多项式的阶数， $P_n(x)$ 表示 $n$ 阶Legendre多项式。

Chebyshev多项式

Chebyshev多项式是一组在区间 $[-1, 1]$ 上的正交多项式，可以通过递归的方式定义为：

$T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) – T_{n-1}(x)$

其中 $T_n(x)$ 表示 $n$ 阶Chebyshev多项式。

Hermite多项式

Hermite多项式是一组在整个实数轴上的正交多项式，可以通过递归的方式定义为：

$H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) – 2n H_{n-1}(x)$

其中 $H_n(x)$ 表示 $n$ 阶Hermite多项式。

构造正交多项式

接下来我们将使用Python来构造Legendre多项式、Chebyshev多项式和Hermite多项式，并演示它们的性质。

Legendre多项式构造

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
n = 5

legendre_poly = [sp.legendre(n) for n in range(n+1)]
legendre_poly

运行结果：

[1, x, 3*x**2/2 - 1/2, 5*x**3/2 - 3*x/2, 35*x**4/8 - 15*x**2/4 + 3/8, 63*x**5/8 - 35*x**3/4 + 15*x/8]

Chebyshev多项式构造

chebyshev_poly = [sp.chebyshevt(n) for n in range(n+1)]
chebyshev_poly

运行结果：

[1, x, 2*x**2 - 1, 4*x**3 - 3*x, 8*x**4 - 8*x**2 + 1, 16*x**5 - 20*x**3 + 5*x]

Hermite多项式构造

hermite_poly = [sp.hermite(n) for n in range(n+1)]
hermite_poly

运行结果：

[1, 2*x, 4*x**2 - 2, 8*x**3 - 12*x, 16*x**4 - 48*x**2 + 12, 32*x**5 - 160*x**3 + 120*x]

总结

在本文中，我们介绍了正交多项式的概念，并使用Python构造了Legendre多项式、Chebyshev多项式和Hermite多项式。正交多项式在数值计算中有广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的数值计算问题。

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