Python求解非线性的常微分方程|极客笔记

Python求解非线性的常微分方程

在数学中，常微分方程是研究函数的微分方程，其中未知函数的一个或多个导数是该函数自身的函数。非线性的常微分方程是指其中包含未知函数及其导数的非线性项。Python作为一种强大的编程语言，提供了许多库和工具来求解非线性的常微分方程。本文将介绍如何使用Python来求解非线性的常微分方程，包括常见的数值方法和库。

1. 导入必要的库

在开始求解非线性的常微分方程之前，我们需要导入一些必要的库，包括numpy用于数值计算，scipy用于科学计算，matplotlib用于绘图等。

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

2. 定义非线性的常微分方程

首先，我们需要定义一个非线性的常微分方程。例如，考虑以下的非线性常微分方程：

$\frac{dy}{dt} = y^2 – t$

我们可以将其表示为Python函数的形式：

def nonlinear_ode(t, y):
    return y**2 - t

3. 求解非线性的常微分方程

接下来，我们可以使用scipy库中的solve_ivp函数来求解非线性的常微分方程。我们需要提供初始条件和求解的时间范围。

t_span = (0, 5)
y0 = [1]
sol = solve_ivp(nonlinear_ode, t_span, y0, t_eval=np.linspace(0, 5, 100))

4. 绘制解的图像

最后，我们可以使用matplotlib库来绘制解的图像，以便更直观地理解非线性的常微分方程的解。

plt.figure()
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='y(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

通过以上步骤，我们成功求解了非线性的常微分方程，并绘制了解的图像。

除了上述的例子，我们还可以通过更复杂的非线性常微分方程来展示Python的强大求解能力。接下来，我们将介绍更多的示例代码来求解不同类型的非线性常微分方程。

5. 示例代码1：Van der Pol振荡器

Van der Pol振荡器是一种经典的非线性振荡器，其方程可以表示为：

$\frac{d^2x}{dt^2} – \mu(1-x^2)\frac{dx}{dt} + x = 0$

我们可以定义如下的Python函数来表示Van der Pol振荡器的方程：

def van_der_pol(t, y, mu=1):
    x, v = y
    dxdt = v
    dvdt = mu * (1 - x**2) * v - x
    return [dxdt, dvdt]

然后，我们可以使用solve_ivp函数来求解Van der Pol振荡器的方程，并绘制解的图像。

t_span = (0, 50)
y0 = [1, 0]
sol = solve_ivp(van_der_pol, t_span, y0, args=(1,), t_eval=np.linspace(0, 50, 100))

plt.figure()
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='x(t)')
plt.plot(sol.t, sol.y[1], label='v(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x, v')
plt.legend()
plt.show()

通过以上代码，我们成功求解了Van der Pol振荡器的方程，并绘制了解的图像。

6. 示例代码2：Lorenz吸引子

Lorenz吸引子是一种著名的混沌系统，其方程可以表示为：

$\frac{dx}{dt} = \sigma(y – x)$
$\frac{dy}{dt} = x(\rho – z) – y$
$\frac{dz}{dt} = xy – \beta z$

我们可以定义如下的Python函数来表示Lorenz吸引子的方程：

def lorenz(t, y, sigma=10, rho=28, beta=8/3):
    x, y, z = y
    dxdt = sigma * (y - x)
    dydt = x * (rho - z) - y
    dzdt = x * y - beta * z
    return [dxdt, dydt, dzdt]

然后，我们可以使用solve_ivp函数来求解Lorenz吸引子的方程，并绘制解的轨迹。

t_span = (0, 100)
y0 = [1, 1, 1]
sol = solve_ivp(lorenz, t_span, y0, args=(10, 28, 8/3), t_eval=np.linspace(0, 100, 10000))

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(sol.y[0], sol.y[1], sol.y[2])
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.show()

通过以上代码，我们成功求解了Lorenz吸引子的方程，并绘制了解的轨迹。

7. 示例代码3：Lotka-Volterra方程

Lotka-Volterra方程是描述捕食者-猎物系统动态演化的经典模型，其方程可以表示为：

$\frac{dx}{dt} = \alpha x – \beta xy$
$\frac{dy}{dt} = \delta xy – \gamma y$

我们可以定义如下的Python函数来表示Lotka-Volterra方程：

def lotka_volterra(t, y, alpha=1, beta=0.1, delta=0.075, gamma=1.5):
    x, y = y
    dxdt = alpha * x - beta * x * y
    dydt = delta * x * y - gamma * y
    return [dxdt, dydt]

然后，我们可以使用solve_ivp函数来求解Lotka-Volterra方程，并绘制解的轨迹。

t_span = (0, 50)
y0 = [10, 5]
sol = solve_ivp(lotka_volterra, t_span, y0, args=(1, 0.1, 0.075, 1.5), t_eval=np.linspace(0, 50, 100))

plt.figure()
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='x(t)')
plt.plot(sol.t, sol.y[1], label='y(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x, y')
plt.legend()
plt.show()

通过以上代码，我们成功求解了Lotka-Volterra方程，并绘制了解的轨迹。

8. 示例代码4：Duffing方程

Duffing方程是一种非线性振动系统的数学模型，其方程可以表示为：

$\frac{d^2x}{dt^2} + \delta \frac{dx}{dt} + \alpha x + \beta x^3 = \gamma \cos(\omega t)$

我们可以定义如下的Python函数来表示Duffing方程：

def duffing(t, y, delta=0.1, alpha=1, beta=0.2, gamma=0.3, omega=1):
    x, v = y
    dxdt = v
    dvdt = -delta * v - alpha * x - beta * x**3 + gamma * np.cos(omega * t)
    return [dxdt, dvdt]

然后，我们可以使用solve_ivp函数来求解Duffing方程，并绘制解的图像。

t_span = (0, 100)
y0 = [1, 0]
sol = solve_ivp(duffing, t_span, y0, args=(0.1, 1, 0.2, 0.3, 1), t_eval=np.linspace(0, 100, 10000))

plt.figure()
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='x(t)')
plt.plot(sol.t, sol.y[1], label='v(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x, v')
plt.legend()
plt.show()

通过以上代码，我们成功求解了Duffing方程，并绘制了解的图像。

9. 示例代码5：非线性阻尼振动器

非线性阻尼振动器是一种具有非线性阻尼的振动系统，其方程可以表示为：

$\frac{d^2x}{dt^2} + \delta x + \alpha x^3 = \gamma \cos(\omega t)$

我们可以定义如下的Python函数来表示非线性阻尼振动器的方程：

def nonlinear_damped_oscillator(t, y, delta=0.1, alpha=1, gamma=0.3, omega=1):
    x, v = y
    dxdt = v
    dvdt = -delta * v - alpha * x**3 + gamma * np.cos(omega * t)
    return [dxdt, dvdt]

然后，我们可以使用solve_ivp函数来求解非线性阻尼振动器的方程，并绘制解的图像。

t_span = (0, 100)
y0 = [1, 0]
sol = solve_ivp(nonlinear_damped_oscillator, t_span, y0, args=(0.1, 1, 0.3, 1), t_eval=np.linspace(0, 100, 10000))

plt.figure()
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='x(t)')
plt.plot(sol.t, sol.y[1], label='v(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x, v')
plt.legend()
plt.show()

通过以上代码，我们成功求解了非线性阻尼振动器的方程，并绘制了解的图像。