Python 后向欧拉法(两步)|极客笔记

Python 后向欧拉法(两步)

在数值计算中，欧拉法是一种常见的数值解微分方程的方法。它是一个一阶的显式数值方法，通过不断迭代来逼近微分方程的解。在前向欧拉法中，我们根据当前时刻的斜率来更新下一个时刻的值。而在后向欧拉法中，我们根据下一个时刻的斜率来更新当前时刻的值。这篇文章将详细介绍后向欧拉法的实现方法，并给出示例代码。

后向欧拉法原理

后向欧拉法是通过不断的迭代来逼近微分方程的解。对于一阶微分方程dy/dt=f(t,y)，我们可以使用以下的迭代公式来更新当前时刻的值：

$y_{n+1} = y_n + \Delta t \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1})$

其中， $y_n$ 是当前时刻的值， $y_{n+1}$ 是下一个时刻的值， $t_n$ 是当前时刻， $\Delta t$ 是时间步长， $f(t_{n+1}, y_{n+1})$ 是在下一个时刻的斜率。我们可以通过不断迭代这个公式来逼近微分方程的解。

后向欧拉法流程

后向欧拉法的主要流程如下：

初始化初始条件： $t_0, y_0$
选择时间步长 $\Delta t$
循环迭代直到达到指定的终止时间t_{end}
1. 计算斜率： $f(t_{n+1}, y_{n+1})$
2. 更新当前时刻的值： $y_{n+1} = y_n + \Delta t \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1})$
3. 更新时间： $t_{n+1} = t_n + \Delta t$

后向欧拉法示例

下面我们通过一个具体的示例来演示后向欧拉法的实现方法。假设我们要解决如下的一阶微分方程：

$\frac{dy}{dt} = -2y, y(0) = 1$

我们可以得到解析解为 $y(t) = e^{-2t}$ 。接下来，我们将使用后向欧拉法来数值解这个微分方程。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(t, y):
    return -2*y

def backward_euler(t0, y0, dt, t_end):
    num_steps = int((t_end - t0) / dt)
    t = np.zeros(num_steps+1)
    y = np.zeros(num_steps+1)

    t[0] = t0
    y[0] = y0

    for i in range(num_steps):
        t[i+1] = t[i] + dt
        y[i+1] = y[i] / (1 + 2*dt)

    return t, y

t0 = 0
y0 = 1
dt = 0.1
t_end = 1

t, y = backward_euler(t0, y0, dt, t_end)

analytical_t = np.linspace(0, 1, 100)
analytical_y = np.exp(-2*analytical_t)

plt.plot(t, y, label='Numerical solution')
plt.plot(analytical_t, analytical_y, label='Analytical solution')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

在上面的代码中，我们首先定义了微分方程的右侧函数 $f(t, y)$ 。然后，我们实现了后向欧拉法的函数backward_euler，用于数值解微分方程。最后，我们选择初始条件 $t0=0, y0=1$ ，时间步长 $\Delta t=0.1$ ，终止时间 $t_{end}=1$ ，并将数值解和解析解进行了比较。