python hermite插值

python hermite插值

引言

在数值分析中，Hermite插值是一种用来逼近一组给定点的函数的方法。与传统的Lagrange插值方法类似，Hermite插值也是通过构造一个多项式来逼近函数。但与Lagrange插值不同的是，Hermite插值可以处理数据点的导数信息，从而在逼近曲线的同时保持曲线在给定点处的斜率信息。

Hermite插值的原理

Hermite插值是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的。其基本思想是在给定数据点处，不仅要保证插值函数通过这些点，还要保证插值函数在这些点处的导数等参数符合要求。

假设我们有一组数据点\{x_i, y_i\}，以及这些数据点处的导数信息\{f'(x_i)\}。我们希望构造一个多项式P(x)，满足以下条件：

1. $P(x)$在每个数据点$\{x_i\}$处通过对应的$y_i$值，即$P(x_i) = y_i$；
2. $P(x)$在每个数据点$\{x_i\}$处的导数等于对应的导数值$\{f'(x_i)\}$。

为实现以上条件，我们考虑使用一组基函数构造插值多项式，同时利用差商的概念进行递推计算。Hermite插值多项式通常表示为：

P(x) = \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1, \ldots, x_i](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})

其中，f[x_0, x_1, \ldots, x_i]表示Hermite插值多项式在点x_i处的值。

Hermite插值的算法

1. 递推计算差商

Hermite插值多项式中的差商可以通过递推计算得到，公式如下：

f[x_i, x_{i+1}, \ldots, x_j] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}, \ldots, x_j] – f[x_i, x_{i+1}, \ldots, x_{j-1}]}{x_j – x_i}

2. 构造插值多项式

根据给定数据点和导数信息，我们首先构造一个n次Hermite插值多项式，并逐步利用递推计算出插值多项式在每个数据点处的值。

3. 求解多项式系数

最后，我们将得到的插值多项式展开为一般形式，并求解出各个系数，得到最终的Hermite插值函数。

示例代码

下面给出一个使用Python实现Hermite插值的示例代码。

import numpy as np

def hermite_interpolation(x, y, yp):
    n = len(x)

    f = np.zeros((n, n), dtype=float)
    f[:, 0] = y

    for i in range(1, n):
        for j in range(1, i+1):
            f[i, j] = (f[i, j-1] - f[i-1, j-1]) / (x[i] - x[i-j])

    def h(x_val):
        result = f[0, 0]
        for i in range(1, n):
            term = f[i, i]
            for j in range(0, i):
                term *= (x_val - x[j])
            result += term
        return result

    return h

# 数据点
x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 2, 3])

# 导数信息
yp = np.array([1, 3, 5])

# 构造Hermite插值函数
h = hermite_interpolation(x, y, yp)

# 计算插值结果
x_val = 0.5
print(h(x_val))

运行结果

在上述示例代码中，我们选取了3个数据点(0, 1)，(1, 2)和(2, 3)，以及相应的导数信息1，3和5。通过Hermite插值算法，我们得到了Hermite插值函数，并计算了在x=0.5处的插值结果。

运行上述代码，我们可以得到插值结果为1.5。

结论

Hermite插值是一种能够处理数据点导数信息的插值方法，通过同时考虑曲线在数据点处的值和导数信息，可以更准确地逼近给定数据。在实际应用中，Hermite插值常用于需要精确控制曲线特性的场景，如CAD设计、动画制作等领域。通过了解Hermite插值的原理和算法，我们可以灵活地使用这一方法，实现更精确的函数逼近。