Python高斯拟合

介绍

拟合是数据分析领域中常用的技术之一，用于找出数据背后的规律和模式。高斯拟合（Gaussian Fitting）是一种常见的拟合方法，特别适用于具有对称分布的数据。

在本文中，我们将使用Python来实现高斯拟合，并详细介绍拟合的原理和实现步骤。首先，我们将了解高斯函数的定义和特点，然后介绍如何使用最小二乘法进行拟合，最后给出一些实际案例以加深理解。

高斯函数的定义和特点

高斯函数（Gaussian function），又称为正态分布函数（Normal distribution function），其数学表达式为：

$f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt{2\pi}}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

其中， $x$ 为自变量， $\mu$ 为均值， $\sigma$ 为标准差。高斯函数的特点如下：
1. 对称性：高斯函数在 $x=\mu$ 处取得最大值，两侧曲线对称；
2. 峰值为1：当 $\sigma=1$ 时，高斯函数在 $x=\mu$ 处取得最大值为1；
3. 集中性：高斯函数的标准差 $\sigma$ 越小，曲线越窄，数据越集中。

最小二乘法拟合原理

最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的拟合方法，基于最小化残差平方和来选择最佳拟合曲线。在高斯拟合中，我们可以通过最小二乘法来求取均值和标准差，从而得到最佳拟合结果。

设有 $n$ 组数据 $(x_i, y_i)$ ，我们需要找到一条曲线 $f(x)$ ，使得该曲线与数据点的残差平方和最小。拟合过程可以分为以下几步：
1. 初始化均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ ；
2. 根据给定的均值和标准差计算对应 $x$ 值的函数值；
3. 计算数据点与拟合函数的残差；
4. 根据残差平方和，利用数值优化方法（如梯度下降法）更新均值和标准差；
5. 重复步骤2-4，直到拟合结果收敛。

Python实现

下面我们将使用Python来实现高斯拟合的过程。首先，我们需要导入numpy和scipy库来进行数值计算和拟合操作。

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，我们定义高斯函数：

def gaussian(x, mu, sigma):
    return 1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2))

然后，我们生成一组具有噪声的数据，作为拟合的输入：

np.random.seed(0)  # 设置随机数种子，使结果可复现
x = np.linspace(-10, 10, 100)  # 生成自变量x
y_true = gaussian(x, 0, 1)  # 生成真实的高斯函数值
y_noise = y_true + np.random.normal(0, 0.1, size=len(x))  # 为真实值添加一些高斯噪声

我们使用curve_fit函数进行高斯拟合：

# 使用curve_fit进行拟合
p0 = [1, 1]  # 初始均值和标准差的猜测值
popt, pcov = curve_fit(gaussian, x, y_noise, p0=p0)
mu_fit, sigma_fit = popt  # 拟合得到的均值和标准差

最后，我们绘制拟合结果并输出拟合的均值和标准差：

# 绘制拟合结果
plt.scatter(x, y_noise, label='Noisy Data')
plt.plot(x, y_true, label='True Gaussian')
plt.plot(x, gaussian(x, mu_fit, sigma_fit), label='Fitted Gaussian')
plt.legend()

# 输出拟合结果
print(f"拟合均值：{mu_fit}")
print(f"拟合标准差：{sigma_fit}")

代码运行结果可以看出，拟合曲线很好地与数据点拟合，而且拟合的均值和标准差与真实值接近。

实际案例

我们还可以将高斯拟合应用于实际案例中，例如对某个实验数据进行拟合，以求得其潜在的分布规律。

以下是一个演示实例，在该实例中，我们使用scipy库的norm子模块来生成服从指定均值和标准差的高斯分布样本，并对生成的样本进行高斯拟合。

from scipy.stats import norm

# 生成高斯分布样本
np.random.seed(0)
sample = norm(loc=10, scale=2).rvs(size=1000)

# 对样本进行高斯拟合
params = norm.fit(sample)
mu_fit, sigma_fit = params

# 输出拟合结果
print(f"拟合均值：{mu_fit}")
print(f"拟合标准差：{sigma_fit}")

运行以上代码可以得到拟合的均值和标准差。