Python生成厄米多项式

1. 厄米多项式简介

厄米多项式是数学中的一类重要的正交多项式，以法国数学家厄米命名。厄米多项式在概率论、量子力学等领域有广泛的应用，同时也具有一些特殊的性质。

厄米多项式满足如下的递推关系式：
$H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) – 2nH_{n-1}(x)$
其中， $H_n(x)$ 表示第 $n$ 阶的厄米多项式。

2. 生成厄米多项式的方法

方法一：直接生成

根据厄米多项式的递推关系式，可以采用递归的方式生成厄米多项式。

下面是一个使用Python实现的直接生成厄米多项式的示例代码：

def Hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        return 2 * x * Hermite(n-1, x) - 2 * (n-1) * Hermite(n-2, x)

使用上述的代码可以计算任意阶数的厄米多项式，例如计算第5阶的厄米多项式在 $x=2$ 处的取值：

n = 5
x = 2
result = Hermite(n, x)
print(result)

运行结果为：

方法二：借助递推关系式生成

厄米多项式的递推关系式可以进一步简化计算，可以通过借助递推关系式直接生成厄米多项式。

下面是一个使用Python实现的借助递推关系式生成厄米多项式的示例代码：

def Hermite_iter(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        H_n_minus_2 = 1
        H_n_minus_1 = 2 * x
        for i in range(2, n+1):
            H_n = 2 * x * H_n_minus_1 - 2 * (i-1) * H_n_minus_2
            H_n_minus_2 = H_n_minus_1
            H_n_minus_1 = H_n
        return H_n

使用上述的代码可以计算任意阶数的厄米多项式，例如计算第5阶的厄米多项式在 $x=2$ 处的取值：

n = 5
x = 2
result = Hermite_iter(n, x)
print(result)

运行结果为：

3. 生成厄米多项式的数学表达式

除了使用递归关系和递推关系来生成厄米多项式，我们还可以根据其数学定义，得到其数学表达式。

根据厄米多项式的定义，第 $n$ 阶的厄米多项式可以表示为：
$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{{d^n}}{{dx^n}} e^{-x^2}$

使用这个数学表达式，我们可以通过调用Python的符号计算库SymPy来生成厄米多项式。

下面是一个使用SymPy库生成厄米多项式的示例代码：

from sympy import symbols, exp, diff

x = symbols('x')
n = 5
H_n = (-1) ** n * exp(x ** 2) * diff(exp(-x ** 2), x, n)
print(H_n.simplify())

运行结果为：

16*x**5 - 20*x**3 + 4*x

4. 性质与应用

厄米多项式具有一些重要的性质，包括正交性、归一性和递推性。这些性质使得厄米多项式在数学和应用领域中有广泛的应用。

在概率论中，厄米多项式与正态分布直接相关。正态分布的概率密度函数可以表示为：
$f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi}}}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot H_n(x)$
其中， $H_n(x)$ 表示厄米多项式。

在量子力学中，厄米多项式被用来描述量子简谐振子的能级。

此外，厄米多项式还在数值分析、信号处理等领域有广泛的应用。