使用分治法解决最大子数组问题的Python程序

问题描述

给定一个数组，如何找到该数组的一个连续子数组，使得该子数组的和最大？

例如，对于数组[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，其最大子数组为[4, -1, 2, 1]，其和为6。

解决方案

暴力解法

我们可以对该数组的每一个子数组进行求和，最后得到所有子数组中和最大的一个子数组，但是这种算法时间复杂度为O(n^3)，对于大数据集会非常慢。

def max_subarray(nums):
    n = len(nums)
    max_sum = float('-inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            cur_sum = sum(nums[i:j+1])
            max_sum = max(max_sum, cur_sum)
    return max_sum

动态规划

我们可以使用动态规划的思想，从前往后遍历数组，每次记录以当前元素为结尾的最大子数组和。遍历结束后再在最大子数组和中找到最大值。

def max_subarray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
    return max(dp)

分治法

我们还可以使用分治法来解决这个问题。将数组一分为二，考虑最大子数组的情况只存在于三种情况中的一种：

左半区间的最大子数组
右半区间的最大子数组
横跨左右区间的最大子数组

因此，我们可以将问题分解成以上三种情况，然后取三种情况中的最大值即可。

def max_cross_subarray(nums, left, mid, right):
    max_left = float('-inf')
    left_sum = 0
    for i in range(mid, left-1, -1):
        left_sum += nums[i]
        max_left = max(max_left, left_sum)
    max_right = float('-inf')
    right_sum = 0
    for i in range(mid+1, right+1):
        right_sum += nums[i]
        max_right = max(max_right, right_sum)
    return max_left + max_right

def max_subarray(nums, left, right):
    if left == right:
        return nums[left]
    mid = (left + right) // 2
    left_sum = max_subarray(nums, left, mid)
    right_sum = max_subarray(nums, mid+1, right)
    cross_sum = max_cross_subarray(nums, left, mid, right)
    return max(left_sum, right_sum, cross_sum)

测试

将代码保存为max_subarray.py文件，并使用如下测试程序进行测试：

from max_subarray import max_subarray

assert max_subarray([-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]) == 6
assert max_subarray([-2, -1, -3, -4, -1, -2, -1, -5, -4]) == -1
assert max_subarray([1,2,3]) == 6
assert max_subarray([-1,-2,-3]) == -1

测试结果如下：