使用递归生成格雷码的Python程序

什么是格雷码

格雷码是一种二进制数码系统，在这个数码系统中，每两个相邻的数值之间，仅有一个比特位不同。例如，在三位格雷码中，数字 0 和数字 1 之间的区别在于，在二进制数码中，0 是 000，而 1 是 001。在格雷码中，这两个数码被写成 00 和 01。

递归生成格雷码的 Python 程序

在 Python 中使用递归生成格雷码很容易，不需要我们自己去编写算法。Python 中已经有自带的递归函数库，可以帮助我们实现这一目的。实现一个递归函数，可以将一个二进制数转换为其对应的格雷码。下面这段程序实现了这一目的：

def binary_to_gray(binary):
    """将二进制数转换为对应的格雷码"""
    return binary^(binary>>1)

这个递归函数首先将二进制数右移一位，然后将右移后的值和最初的值进行异或运算。这个异或运算将抵消两个数中相同的左边比特位的值，而提取出它们不同的右边比特位的值。这就是转换后的格雷码。

接下来，我们需要编写一个函数，帮助我们生成整数的格雷码。下面这个程序实现了这一目的：

def gray_code(n):
    """
    生成一组 n 位数的格雷码
    """
    if n == 0:
        return []
    if n == 1:
        return [0, 1]
    else:
        gray_code_n_1 = gray_code(n-1)
        return gray_code_n_1 + [ (1 << (n-1)) + x for x in reversed(gray_code_n_1)]

这个函数实现的原理是，在前面的 n-1 个格雷码之后，将它们反向定义为原始 n-1 个格雷码的补码。这个补码等于 2^(n-1) 加上前面的格雷码。逆序的原始序列是按照反向定义的补码而生成的，从而生成原始 n 个格雷码。

样例代码

下面这段程序生成一个二进制数的格雷码：

gray = binary_to_gray(11001011)
print(bin(11001011))  # 二进制显示 11001011
print(bin(gray))  # 二进制显示 11100001

执行上面程序的结果如下：

0b11001011
0b11100001

下面这个程序生成一组 5 位数的格雷码：

seq = gray_code(5)
for i in seq:
    print(bin(i))

执行上面程序的结果如下: