Python程序：将复数转换为极坐标值

在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。实部和虚部通常用 $a$ 和 $b$ 表示，形式为 $a + bi$ 。在Python中，我们可以使用复数类型来表示这样的数。但是，有时我们需要将复数转换为极坐标。极坐标表示一个点与原点的距离和点与 $x$ 轴的夹角。本文将介绍如何在Python中将复数转换为极坐标。

极坐标表示法

极坐标表示法是用复数模和幅角表示复数的形式。这种表示法中，复数 $z = a + bi$ 的模 $r$ 和幅角 $\theta$ 定义为：

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\theta = \text{arg}(z) = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a})&\text{if}\ a > 0\ \arctan(\frac{b}{a})+\pi& \text{if}\ a<0\ \ b \geq 0\ \arctan(\frac{b}{a})-\pi& \text{if}\ a<0\ \ b<0\ +\frac{\pi}{2}& \text{if}\ a = 0\ \ b > 0\ -\frac{\pi}{2}& \text{if}\ a = 0\ \ b<0\ \text{undefined}& \text{if}\ a = 0\ \ b = 0 \end{cases}$

其中， $\text{arg}(z)$ 表示 $z$ 的辐角。

Python实现

我们可以使用Python的cmath（“complex math”）模块来处理复数。该模块的函数基于math模块（“数学函数”）的函数。以下是一个示例函数，用于将复数转换为极坐标形式：

import cmath

def polar(z):
    """ 将复数转换为极坐标 """
    r = abs(z) # 复数的模长
    theta = cmath.phase(z) # 复数的幅角，返回值是弧度制
    return r, theta

在上面的代码中，我们使用了cmath模块的两个函数。

abs()：用于计算复数的模长，即 $|z|$ 。
cmath.phase()：用于计算复数的幅角，即 $\text{arg}(z)$ 。

注意，cmath.phase() 返回的是弧度制，而不是角度制。所以我们需要将返回值转换为角度。

接下来是调用示例：

z = 3 + 4j # 复数
r, theta = polar(z) # 转换为极坐标形式

# 显示结果
print("复数 {0} 的极坐标形式是：{1} ∠ {2}".format(z, r, theta))

输出结果为：

复数 (3+4j) 的极坐标形式是：5.0 ∠ 0.93

完整代码

以下是完整的Python代码，该代码使用一个while循环，让用户输入一个复数，并打印出该复数的极坐标形式。

import cmath

def polar(z):
    """ 将复数转换为极坐标 """
    r = abs(z) # 复数的模长
    theta = cmath.phase(z) # 复数的幅角，返回值是弧度制
    return r, theta

while True:
    try:
        # 用户输入一个复数
        str_complex = input("请输入一个复数（例如，2+3j）或q结束： ")
        if str_complex == "q":
            break

        # 将字符串转换为复数类型
        complex_num = complex(str_complex)

        # 将复数转换为极坐标        r, theta = polar(complex_num)

        # 显示结果
        print("复数 {0} 的极坐标形式是：{1} ∠ {2}°".format(complex_num, r, theta*180/cmath.pi))
    except (ValueError, TypeError):
        print("无效输入，请重新输入！")