在Python中查找给定行和列总和的有效矩阵的程序

在Python中，我们可以使用numpy库来创建矩阵并计算矩阵的行和列总和。这篇文章将介绍如何在Python中查找给定行和列总和的有效矩阵。

什么是有效矩阵？

一个有效矩阵是指给定的行和列总和都是已知的，并且满足矩阵中所有元素都是非负整数的矩阵。例如，以下矩阵是一个有效矩阵：

[[1,2],
 [3,4]]

其中第一行的总和是3，第二行的总和是7，第一列的总和是4，第二列的总和是6。所有的元素都是非负整数。

创建有效矩阵

我们可以使用numpy库中的函数np.random.randint来随机生成一个有效矩阵。这个函数可以接受两个参数，分别是矩阵的行数和列数。以下代码演示了如何使用np.random.randint函数生成一个4行5列的有效矩阵：

import numpy as np

row_sums = np.random.randint(1, 10, size=4)
col_sums = np.random.randint(1, 10, size=5)

def random_valid_matrix(row_sums, col_sums):
    n = len(row_sums)
    m = len(col_sums)
    result = np.zeros((n, m), dtype=np.int32)
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            result[i][j] = min(row_sums[i], col_sums[j])
            row_sums[i] -= result[i][j]
            col_sums[j] -= result[i][j]
    return result

matrix = random_valid_matrix(row_sums, col_sums)
print("矩阵：")
print(matrix)
print("行总和：", row_sums)
print("列总和：", col_sums)

在以上代码中，我们使用了两个np.random.randint函数来生成一个4行5列的有效矩阵。其中row_sums和col_sums分别表示矩阵的行总和和列总和。我们通过循环来逐行逐列地填充矩阵，使矩阵的行和列总和分别等于row_sums和col_sums。

查找有效矩阵

为了查找给定行和列总和的有效矩阵，我们可以使用线性规划算法。具体来说，需要把每个未知元素看作一个变量，然后建立一组基于行和列总和的不等式。然后使用线性规划求解器来求解这个不等式系统，以查找矩阵中每个未知元素的值。

Python中有多个线性规划求解器可供选择，包括scipy、cvxopt和PuLP等等。这里我们将展示如何使用PuLP求解器来查找有效矩阵。

!pip install pulp

from pulp import *

def find_valid_matrix(row_sums, col_sums):
    n = len(row_sums)
    m = len(col_sums)
    prob = LpProblem("Valid Matrix", LpMinimize)
    variables = LpVariable.dicts("x", (range(n), range(m)), lowBound=0, cat='Integer')
    flatten_variables = [variables[i][j] for i in range(n) for j in range(m)]
    prob += lpSum(flatten_variables)
    for i in range(n):
        prob += lpSum([variables[i][j] for j in range(m)]) == row_sums[i]
    for j in range(m):
        prob += lpSum([variables[i][j] for i in range(n)]) == col_sums[j]
    prob.solve()
    result = np.zeros((n, m), dtype=np.int32)
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            result[i][j] = int(value(variables[i][j]))
    return result

solution = find_valid_matrix(row_sums, col_sums)
print("矩阵：")
print(solution)
print("行总和：", row_sums)
print("列总和：", col_sums)

在以上代码中，我们使用了PuLP求解器来查找给定行和列总和的有效矩阵。首先，我们定义一个线性规划问题，并定义每个未知元素作为变量。然后我们通过循环来添加一组基于行和列总和的等式约束。最后，我们使用求解器来求解这个线性规划问题，并把解解释成一个有效矩阵。