在Python中找出相等子字符串对的数量

在Python中，可以用不同的方式来找出相等子字符串对（Equal Substring Pairs）的数量。在本文中，我们将介绍两种实现方法，并且对比它们的时间复杂度和运行效率。

方法一：暴力枚举

暴力枚举可以说是最简单、最容易想到的实现方法了，它的基本思路就是对所有的子字符串进行两两比较，然后计数。

下面是一个使用Python实现暴力枚举的代码示例：

def count_equal_substring_pairs(s):
    n = len(s)
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if s[i:j] == s[j:n]:
                count += 1
    return count

在上面的代码中，我们定义了一个函数 count_equal_substring_pairs(s)，它接受一个字符串作为输入，输出相等子字符串对的数量。算法的实现过程中，我们首先遍历字符串中的每个字符，然后以该字符作为子字符串的起点，枚举该子字符串能够与哪些后面的子字符串相等。如果找到一个相等的子字符串对，就累加计数器。

需要注意的是，在Python中，可以使用切片操作 s[i:j] 来获取字符串的子串，其中 i 为起始位置，j 为终止位置（不包括该位置）。

方法二：KMP算法

上面的暴力枚举方法在时间复杂度上是 $O(N^3)$ 的，显然在处理较长的字符串时效率会非常低。此时，我们可以使用经典的字符串匹配算法KMP（Knuth-Morris-Pratt）来进行优化。

KMP算法的主要思想是在匹配失败时，利用已知信息来尽量减少模式串与主串的比较次数。具体来说，就是通过计算模式串的前缀函数（Prefix Function）来找到匹配失败时模式串应该向后移动的位置。

下面是一个使用Python实现KMP算法的代码示例：

def prefix_function(s):
    n = len(s)
    pi = [0] * n
    for i in range(1, n):
        j = pi[i-1]
        while j > 0 and s[i] != s[j]:
            j = pi[j-1]
        if s[i] == s[j]:
            j += 1
        pi[i] = j
    return pi

def count_equal_substring_pairs(s):
    n = len(s)
    count = 0
    pi = prefix_function(s)
    for i in range(1, n):
        if pi[i] > 0:
            count += 1
    return count

在上面的代码中，我们定义了两个函数： prefix_function(s) 和 count_equal_substring_pairs(s)。其中，prefix_function(s) 是用于计算字符串的前缀函数的函数，而 count_equal_substring_pairs(s) 则是用于计算相等子字符串对的数量的函数。

接下来，让我们来详细讲解一下KMP算法的实现过程。首先，我们计算出字符串的前缀函数，它的定义如下：

$\pi_i = \max _{k<i} {\pi_k : s[0:k] = s[i-k:i]} \quad\text{for}\; i = 1,2,\dots,n-1$

其中， $\pi_i$ 表示以第 $i$ 个字符为结尾的子串的最长前缀长度，可以看作是模式串的某个前缀和后缀的最长匹配长度。基于前缀函数，我们可以得到如下的匹配状态转移函数：

两种方法的时间复杂度如下：

方法一：暴力枚举。对所有的子字符串进行两两比较的次数为 $O(N^3)$ ，因此该方法的时间复杂度为 $O(N^3)$ 。
方法二：KMP算法。首先需要计算字符串的前缀函数，这一步的时间复杂度为 $O(N)$ ；然后对前缀函数进行遍历，累加非零元素的数量，这一步的时间复杂度同样是 $O(N)$ 。因此，该方法的时间复杂度为 $O(N)$ 。