在 Python 中寻找矩阵中 GCD 大于 1 的连续元素的数量

什么是 GCD？

在数学中，最大公约数（GCD）是两个或多个整数的最大公因数。例如，8和12的最大公约数是4。

在Python中，可以使用 math 模块中的 gcd() 函数来计算两个数的 GCD。以下是一个例子：

import math

a = 8
b = 12

gcd = math.gcd(a, b)

print(gcd)   # 输出结果为 4

如何判断连续元素的 GCD 是否大于 1？

要判断一个由相邻元素组成的序列的 GCD 是否大于1，可以对相邻的两个数字计算 GCD，并将结果与之前的数字 GCD 进行比较。如果其中有一个 GCD 大于1，就说明这两个数字以及它们之间的数字构成的序列的 GCD 大于1。我们可以使用一个循环来实现这个过程。以下是一个例子：

import math

a = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

count = 0

for i in range(len(a)-1):
    gcd = math.gcd(a[i], a[i+1])
    if gcd > 1:
        count += 1

print(count)   # 输出结果为 2

如何在矩阵中寻找 GCD 大于 1 的连续元素？

如果我们有一个二维矩阵，该怎么办呢？我们可以将矩阵中的每一行看作一个序列，按照上面的方法计算每一行中 GCD 大于 1 的连续元素的数量，然后将每一行的计数器相加得到最终的结果。以下是一个例子：

import math

matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

count = 0

for row in matrix:
    row_count = 0
    for i in range(len(row)-1):
        gcd = math.gcd(row[i], row[i+1])
        if gcd > 1:
            row_count += 1
    count += row_count

print(count)   # 输出结果为 0，因为每一行中的所有相邻元素的 GCD 都等于 1

如何让程序更高效？

以上的方法虽然可以正确计算出结果，但对于较大的矩阵，它的时间复杂度可能会很高。我们可以使用 numpy 库来优化程序。numpy 库中有一个函数叫做 gcd()，它可以计算多维数组中所有元素的 GCD。我们只需要将矩阵转换成 numpy 数组，然后调用该函数即可。以下是一个例子：

import numpy as np

matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

matrix_np = np.array(matrix)

gcd = np.gcd.reduce(matrix_np)

count = np.count_nonzero(gcd[1:] > 1)

print(count)   # 输出结果为 0，因为矩阵中的所有相邻元素的 GCD 都等于 1

在以上代码中，我们首先将矩阵转换成了 numpy 数组，然后使用 np.gcd.reduce() 函数计算了矩阵中所有元素的 GCD，并将结果存储在 gcd 变量中。接着，我们使用 np.count_nonzero() 函数来计算 GCD 大于 1 的元素的数量，并将结果存储在 count 变量中。需要注意的是，gcd[1:] 表示从第二个元素开始到最后一个元素的切片，这是为了避免计算第一个元素与上一个元素的GCD 的情况。