在Python中求解使用印度货币面额时的总面值

使用印度货币面额时，若总面值为n，则可以使用如下货币面额组合：

1,2,5,10,20,50,100,500和1000 Rs.

现在我们要在Python中编写程序，求出总面值为n时，一共有多少种组合方法。

问题分析

本问题可以使用动态规划方法进行求解。首先我们用一个数组dp来记录从最小面额1开始到n的组合方法总数。具体的，假设我们当前已知了数组dp[i−1]的值，那么如何得到数组dp[i]的值呢？由于我们只有8种不同的面额，所以数组dp[i]可以由数组dp[i−1],dp[i−2],dp[i−5],dp[i−10],dp[i−20],dp[i−50],dp[i−100],dp[i−500]和dp[i−1000]的值推导出来。代码实现如下：

def countCombinations(n):
    coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 500, 1000] # 枚举面额
    dp = [1] + [0] * n # 初始化为1

    for coin in coins:
        for i in range(coin, n + 1):
            dp[i] += dp[i - coin]
    return dp[n] # 返回dp[n]的值，即总面值为n时，不同组合方法的总数

说明：

• coins列表列出所有可能的面值；
• dp[i]表示总面值为i的组合数；
• dp[0]的值将会在后面的遍历组合时被更新；
• 内层的for循环用于枚举可选的面额(即coins)，从小到大选择，因为新的状态(dp[i])依赖于旧的状态(dp[i-j])，这样可以保证dp[i-j]在dp[i]之前被计算；
• dp[i]的值为dp[i-1]到dp[i-j]的值的和。

示例

我们可以用如下代码来验证我们的算法是否正确：

print(countCombinations(10)) # 11
print(countCombinations(15)) # 22

结论

本文介绍了如何使用动态规划的方法在Python中编写程序求解使用印度货币面额时的总面值问题。运用动态规划的思想，可以有效地避免重复计算，提高代码的效率。