使用Python查找排列二进制网格所需的最小交换次数

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简介

二进制网格是一种由0和1组成的矩阵。在一个二进制网格中，可以进行一种操作：交换任意两行或交换任意两列。现在给出一个排列二进制网格，即网格中的每一行/列都包含恰好一个1。现在的问题是：找到一种最小次数的交换操作，使得该排列网格从上到下和从左到右均单调递增。

输入：一个二进制网格grid，其中grid[i][j]=1表示该网格的第i行和第j列恰好包含一个1。

输出：使得输入的排列网格变得单调递增所需的最小交换次数。

示例1：

输入：grid = [[0,1,1,0],[0,1,1,0],[0,1,1,0],[0,1,1,0]]

输出：2

分析

在解决这个问题之前，我们需要知道一个名词：单调递增矩阵。对于一个n行m列的矩阵A，如果满足对于且仅对于1≤i≤n−1和1≤j≤m−1，都有A[i][j]≤A[i+1][j]且A[i][j]≤A[i][j+1]的话，那么这个矩阵被称为单调递增矩阵。

对于这个问题，我们需要把给定的排列二进制矩阵变换成一个单调递增矩阵。在矩阵变换的过程中，我们只能进行行或列的交换操作。因此，我们需要先找到哪些行和哪些列需要被交换。然后，我们可以通过交换行或交换列来将矩阵中的每一行/列都变成单调递增的。

根据上面的分析，我们可以把问题进一步拆分。第一步，我们需要找到需要交换的行和列。为了使得矩阵单调递增，我们需要让网格中的每一行和每一列都包含一个1。因此，我们可以遍历整个矩阵，找到每一行和每一列包含的1的数量。如果该行或者该列目前并没有1，我们就需要找到一个包含1的行或列和该行/列进行交换。

第二步，我们需要计算交换的最小次数。我们可以首先只考虑行的交换，然后再考虑列的交换。假设矩阵共有W列，我们可以计算每一列的需要被交换的次数。假设一列需要被交换k次，那么它可以只在其余的列中移动，移动的距离就是它在其余的列中的正序排列位置。因此，我们可以利用插入排序来计算移动的距离。总和就是所有列移动距离的和。同样的，我们可以计算行的移动距离总和。

根据上面的分析，我们可以列出代码来解决该问题：

class Solution:
    def minSwaps(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        n = len(grid)
        count = [0] * n

        # 计算每行含有1的数量
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if grid[i][j] == 1:
                    count[i] += 1

        # 找到需要交换的行
        res = 0
        for i in range(n):
            j = i
            while j < n and count[j] < n - i- 1:
                j += 1
            if j == n:
                return -1
            res += j - i
            for k in range(j, i, -1):
                count[k], count[k-1] = count[k-1], count[k]

        # 计算列移动的距离
        count = [0] * n
        for j in range(n):
            for i in range(n):
                if grid[i][j] == 1:
                    count[j] = i
        res_col = 0
        for i in range(n):
            j = i
            while j < n and count[j] > i:
                j += 1
            if j == n:
                return -1
            res_col += j - i
            for k in range(j, i, -1):
                count[k], count[k-1] = count[k-1], count[k]

        return res + res_col

该算法的时间复杂度为O(n^2logn)，其中n为矩阵的行数和列数。