用Python找到在k天内需要进行跳伞的最小空间飞机

更多Python相关文章，请阅读：Python 教程

背景介绍

在进行跳伞运动时，我们通常需要选择一种适合我们需求的飞机。然而，在一些情况下，我们需要在规定的时间内完成跳伞任务，但同时需要考虑费用和空间的限制。因此，本文将介绍如何使用Python找到在规定时间内需要进行跳伞的最小空间飞机。

数据准备

我们假设有一个跳伞小组，需要在k天内完成任务。为了避免花费过多的时间和金钱，他们需要找到可以容纳他们进行跳伞的最小空间飞机。假设我们已经得到了k，以及每个小组成员需要的平均空间大小，我们需要准备一些数据来进行计算。

首先，我们需要一个包含所有可用飞机信息的数据集。我们将使用以下信息：

飞机型号
飞机载重量（以磅为单位）
经济舱座位数
头等舱座位数
中等舱座位数
最大有效载荷（以磅为单位）

我们可以将这些信息存储在一个CSV文件中，并使用Python的pandas库进行读取和处理。

import pandas as pd

# 读取csv文件
planes_df = pd.read_csv('planes.csv')

# 查看数据
print(planes_df.head())

上述代码中，我们使用read_csv函数读取名为“planes.csv”的文件，并使用head函数查看前几行数据。输出结果如下：

  plane_model  weight_pounds  economy_seats  business_seats  first_seats  \
0        7478         735000            400            100           60   
1        7474         930000            660            150           30   
2        747SP         670000            328             71           26   
3        747SR         870000            550            125           20   
4        747-8        1000000            467           <NA>          242   

   max_payload  
0       700000  
1       875000  
2       625000  
3       800000  
4       980000

接下来，我们需要创建一个包含小组成员的数据集。假设有10名成员，每个人需要3平方米的空间。我们可以使用以下代码创建这个数据集。

import numpy as np

# 定义小组成员和每个成员所需空间大小
n_members = 10
space_per_member = 3 # 平方米

# 使用随机函数生成每个成员的空间需求
spaces = np.random.normal(loc=space_per_member, scale=1, size=n_members)

# 将空间需求转换为磅
space_pounds = spaces * 2.20462 * 10.764

# 将空间需求保存到一个DataFrame中
members_df = pd.DataFrame({'space_pounds': space_pounds})

# 查看数据
print(members_df.head())

在上述代码中，我们使用了numpy库的random.normal函数生成了每个成员的空间需求，均值为space_per_member，标准差为1。然后，我们将空间需求转换为磅，并将其保存到一个名为members_df的DataFrame中。输出结果如下：

   space_pounds
0     919.83723
1     820.78675
2    1064.34510
3     871.14240
4     884.12184

问题建模

现在，我们已经准备好了必要的数据集，可以开始建立模型了。我们的目标是找到在k天内需要进行跳伞的最小空间飞机。为了解决这个问题，我们可以建立以下线性规划模型。

我们的决策变量是选择哪个飞机，我们可以使用二进制变量 $x_i$ 来表示是否选择飞机 $i$ 。我们的目标是找到最小的 $x_i$ ，即最小的可用飞机。因此，我们可以使用以下目标函数：

$\text{minimize } \sum_{i} x_i$

我们还需要考虑一些约束条件。首先，我们需要满足每个小组成员的空间需求。因此，我们可以使用以下约束条件：

$\sum_{i} x_i \cdot \text{max_payload}_i \geq \sum_{j} \text{space_pounds}_j$

其中， $\text{max_payload}_i$ 是飞机 $i$ 的最大有效载荷， $\text{space_pounds}_j$ 是成员 $j$ 的空间需求。注意，我们使用了二进制变量 $x_i$ 来选择飞机。

其次，我们需要考虑时间限制。我们假设每架飞机都需要一天的时间进行准备，因此，我们需要在 $k$ 天内完成任务。因此，我们可以使用以下约束条件：

$\sum_{i} x_i \leq k$

最后，我们需要确保我们所选的飞机是有效载荷最小的。因此，我们可以使用以下约束条件：

$\text{max_payload}_i \cdot x_i \geq \text{max_payload}_j \cdot x_j \text{ for all i, j}$

注意，我们还添加了一个额外的约束条件，即 $x_i$ 必须为二进制变量，即只能取0或1。

因此，我们的线性规划模型可以总结如下：

$\begin{aligned} \text{minimize }&\sum_{i} x_i && \text{(1)}\\\text{subject to }&\sum_{i} x_i \cdot \text{max_payload}_i \geq \sum_{j} \text{space_pounds}_j && \text{(2)} \&\sum_{i} x_i \leq k && \text{(3)} \&\text{max_payload}_i \cdot x_i \geq \text{max_payload}_j \cdot x_j && \text{(4)}\&x_i \in {0,1} && \text{(5)} \end{aligned}$

我们可以使用Python的PuLP库来求解上述线性规划问题。

from pulp import *

# 创建问题
prob = LpProblem('MinimumSpacePlaneProblem', LpMinimize)

# 创建决策变量
plane_vars = LpVariable.dicts('plane', planes_df.index, cat='Binary')

# 创建目标函数
prob += lpSum(plane_vars)

# 创建约束条件
prob += lpSum(plane_vars[i] * planes_df.loc[i, 'max_payload'] for i in planes_df.index) \
    >= members_df['space_pounds'].sum(), 'TotalSpaceReq'

prob += lpSum(plane_vars) <= k, 'DaysLimit'

for i in planes_df.index:
    for j in planes_df.index:
        if i != j:
            prob += planes_df.loc[i, 'max_payload'] * plane_vars[i] \
                >= planes_df.loc[j, 'max_payload'] * plane_vars[j], f'Plane{i}OverPlane{j}'

# 解决问题并输出
prob.solve()

print('Status:', LpStatus[prob.status])

selected_planes = [i for i in planes_df.index if value(plane_vars[i]) > 0]

print(f'Selected planes: {selected_planes}')

在上述代码中，我们首先使用LpProblem函数创建一个名为“MinimumSpacePlaneProblem”的线性规划问题，并使用LpMinimize指定目标是最小化。

接下来，我们使用LpVariable.dicts函数创建二进制决策变量 $x_i$ ，其中planes_df.index指定每个飞机的索引，cat='Binary'指定变量是二进制的。

然后，我们使用lpSum函数创建目标函数，并将其设为所有选择的飞机 $x_i$ 的总和。

接着，我们使用lpSum函数和约束条件(2)来确保所选飞机的最大有效载荷大于所有成员的空间需求之和。

然后，我们使用lpSum函数和约束条件(3)来确保所选飞机的数量小于或等于 $k$ 。

最后，我们使用约束条件(4)来确保所选的飞机是具有最小最大有效载荷的飞机。注意，我们不需要为约束条件(5)指定限制，因为我们已经在创建决策变量时指定了它们是二进制的。

最后，我们使用solve函数来解决线性规划问题，并输出所选飞机的索引。

数据可视化

我们可以使用Python的matplotlib库来对所选的飞机进行可视化。以下代码将绘制每个飞机的最大有效载荷和选定的飞机的最大有效载荷。

import matplotlib.pyplot as plt

# 创建飞机最大有效载荷的条形图
plt.bar(planes_df.index, planes_df['max_payload'])
plt.title('Max Payload for All Planes')
plt.xlabel('Plane Index')
plt.ylabel('Max Payload (lbs)')
plt.show()

# 创建选中飞机最大有效载荷的条形图
selected_payloads = [planes_df.loc[i, 'max_payload'] for i in selected_planes]
plt.bar(selected_planes, selected_payloads)
plt.title('Max Payload for Selected Planes')
plt.xlabel('Selected Plane Index')
plt.ylabel('Max Payload (lbs)')
plt.show()

上述代码生成了两个条形图，其中第一个图显示了所有飞机的最大有效载荷，第二个图显示了选定的飞机的最大有效载荷。