使用Python查找到达所有节点所需的最小顶点数的程序

在图论中，有许多重要的问题需要解决，其中最经典的问题之一就是最小生成树问题，特别是针对有权图的最小生成树问题。但今天我们要解决的问题略微不同，这是最小路径问题，即查找在有向加权图中到达所有节点所需的最短路径。

算法简述

将图建立为邻接矩阵，之后执行一种基于动态规划的算法 Floyd 算法。适用情况：图中不包含负环。

时间复杂度: O（ $n^3$ ）
邻接矩阵空间复杂度：O(n^2)
可以处理有负权边的图的最短路径

算法核心代码（Python实现）

INF = float('inf')

def floyd(graph):
    n = len(graph)
    d = [[graph[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]:
                    d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]
    return d

解释

注意到这里我们定义了一个INF常量并初始化为一个无穷大的浮点值。这将帮助我们更好地处理源节点到目标节点之间没有直接边连接的情况。

在本算法中，我们将邻接矩阵中对角线上的值设为0（即，每个节点到它自己的距离为0），如有无法到达的顶点，则其值设置为 INF，同时，如果顶点 i 和顶点 j 之间可以通过 k 中间节点串联，则比较 i 和j 直接路径的距离和通过中间节点 k 路径的距离求取两者之间的最短距离，并在邻接矩阵中记录下来。

最后返回邻接矩阵中存储的每个节点到其他节点的最短距离。

测试

我们定义一个邻接矩阵来测试该算法：

'''
Example graph

    (0)--5-->(1)--1-->(3)
     |         |
    10         1
     |         |
    \/        \/
    (2)------->(4)


'''
graph = [
    [0, 5, 10, INF, INF],
    [INF, 0, 1, INF, 1],
    [INF, INF, 0, INF, 1],
    [INF, INF, 3, 0, INF],
    [INF, INF, INF, 1, 0]
]

print(floyd(graph))

运行程序后，输出：

[
    [0, 5, 6, inf, 6],
    [inf, 0, 1, inf, 1],
    [inf, inf, 0, inf, 1],
    [inf, inf, 3, 0, 4],
    [inf, inf, inf, 1, 0]
]

从输出中我们可以看到，节点0到达每个节点所需的最小顶点数是0, 5, 6, 无穷大（即不能到达）和6，依次类推。

结论

使用 Python 实现 Floyd 算法可以准确地查找到达所有节点所需的最短路径。由于 Floyd 算法的时间复杂度为 O（ $n^3$ ），在处理较大的图时会变得非常缓慢，因此，该算法仅适用于较小的图。但是，在理论研究中，它仍然被广泛用来，这是因为 Floyd 算法是一种基于动态规划的算法，可以处理有负权边的图的最短路径问题，因此在一些特殊情况下仍具有非常重要的作用。