在Python中查找到达家的最小跳数程序

想象你在一个游戏中，你需要控制一个角色从初始位置跳到家中，你可以选择跳一步或者跳两步，而且某些地方是无法跳到的。此时就需要编写 Python 程序来求解从初始位置到家中最小跳数。

算法思路

这是一个经典的动态规划问题，可以使用递归和记忆化搜索两种方式来实现。

如果我们从起始位置跳一步或两步，那么就可以到达新的位置。我们可以将问题递归地转化成从新的位置到家中的最小跳数。

在递归的过程中，如果有多个新的位置可以到达家，那么我们可以选择其中最小值。

一般来说，记忆化搜索的性能比递归更高，因为它可以将已经计算出来的结果保存下来，避免重复计算。

下面是递归的实现代码：

def min_jumps_rec(arr, i, n):
  if i == n - 1:  # 已经到达家中
    return 0
  if arr[i] == 0:  # 无法到达新位置，直接返回无穷大
    return float('inf')
  min_jumps = float('inf')
  for j in range(i + 1, min(i + arr[i] + 1, n)):
    jumps = min_jumps_rec(arr, j, n)
    if jumps != float('inf'):
      min_jumps = min(min_jumps, jumps + 1)
  return min_jumps

如果我们使用记忆化搜索，可以将已经计算出来的最小跳数存储在一个字典中，以便以后可以直接使用。

def min_jumps_memo(arr, i, n, memo):
  if i == n - 1:  # 已经到达家中
    return 0
  if arr[i] == 0:  # 无法到达新位置，直接返回无穷大
    return float('inf')
  if i in memo:
    return memo[i]
  min_jumps = float('inf')
  for j in range(i + 1, min(i + arr[i] + 1, n)):
    jumps = min_jumps_memo(arr, j, n, memo)
    if jumps != float('inf'):
      min_jumps = min(min_jumps, jumps + 1)
  memo[i] = min_jumps
  return min_jumps

代码演示

让我们通过一些示例来演示这个程序如何工作。

示例1：

假设跳跃列表为 [2, 3, 1, 1, 4]，那么从位置0开始，需要的最少跳数为2。这是一种可以到达家的方式：

从0跳到1，跳2次
从1跳到4，跳1次

arr = [2, 3, 1, 1, 4]
n = len(arr)
assert min_jumps_rec(arr, 0, n) == 2  # 递归
assert min_jumps_memo(arr, 0, n, {}) == 2  # 记忆化搜索

示例2：

假设跳跃列表为 [1,1,1,1,1]，那么从位置0开始，最少需要跳4次到达家。

arr = [1, 1, 1, 1, 1]
n = len(arr)
assert min_jumps_rec(arr, 0, n) == 4  # 递归
assert min_jumps_memo(arr, 0, n, {}) == 4  # 记忆化搜索

示例3：

假设跳跃列表为 [3, 0, 0, 2, 0, 4]，那么无法可以到达第二个位置，因此无法到达家。

arr = [3, 0, 0, 2, 0, 4]
n = len(arr)
assert min_jumps_rec(arr, 0, n) == float('inf')  # 递归
assert min_jumps_memo(arr, 0, n, {}) == float('inf')  # 记忆化搜索