在 Python 中编写删除 K 个元素后找到最小振幅的程序

随着信息时代的到来，数据处理变得格外重要。Python 作为一门高效、简单且易于学习的语言，成为了很多数据处理工程师和数据科学家的首选工具。本文主要介绍如何在 Python 中编写删除 K 个元素后找到最小振幅的程序。

在许多数据处理场景中，我们需要对数据进行删减，以得到感兴趣的数据。例如，当我们需要在一段时间内获取车流量的峰值和谷值，我们需要删除掉数据中的一些异常值，例如车祸和大雾等原因导致的严重交通阻塞。删除这些异常数据后，我们希望得到的数据尽可能地靠近原数据，并且数据的极差尽可能地小。这个问题可以被看做是一个从数据中删除若干个元素，使得振幅最小化的问题。我们将通过 Python 编写代码来解决这个问题。

问题描述

设由 $n$ 个元素组成的集合 $S = {a_1, a_2, …, a_n}$ ，其中 $a_1 。我们需要从 S 中删除 k 个元素，得到一个新集合 S’ ，使得 S’ 的振幅最小。我们定义 S’ 的振幅 w(S’) 为：$

$w(S’) = max(S’) - min(S’)$

解决方案

初看这个问题是一个组合优化问题，需要枚举所有可能从 $S$ 中删除 $k$ 个元素的情况，并对每种情况计算 $S’$ 的振幅。这种方法的时间复杂度为 $O(C_n^k)$ ，随着 $n, k$ 的增大，计算量会成指数级增长，因此不适用于大规模数据的处理。本文将介绍一个时间复杂度更低的动态规划算法来解决这个问题。

我们可以从简单情况入手，考虑 $k=1$ 的情况。我们将 $S’$ 中的一个元素 $a_i$ 删除，得到新集合 $S’_i$ ：

$S’_i = {a_1, a_2, …, a_{i-1}, a_{i+1}, …, a_n}$

此时， $S’_i$ 的振幅可能是 $S’$ 的振幅，也可能是 $S’$ 中其他情况下的更小的振幅。我们可以通过对比 $w(S’_i)$ 和 $w(S’)$ 来判断是否需要保留 $a_i$ 。当 $w(S’_i) 时，我们将 a_i 在新集合中保留；当 w(S’_i) >= w(S’) 时，我们将 a_i 在新集合中删除。这样，我们就得到了一个 O(n) 的算法来解决 k=1 的情况。$

接着，我们考虑 $k \geq 2$ 的情况。为了求解问题的最优子结构，我们需要将问题分解成规模更小的子问题，并通过已知的信息推导出子问题的最优解。

我们定义状态 $f(i, j)$ ，表示从集合 ${a_1, a_2, …, a_i}$ 中删除 $j$ 个元素后所得到的集合的振幅的最小值。对于状态 $f(i, j)$ ，我们可以考虑 $a_i$ 是否保留来得到状态转移方程：

$f(i,j) = min{f(i-1,j), max{f(i-1, j-1)} – a_i}$

其中 $f(i-1, j)$ 表示 $a_i$ 被删除的情况， $f(i-1, j-1)$ 表示 $a_i$ 被保留的情况。由于需要知道 $f(i-1, j-1)$ 的值，因此我们需要将 $a_i$ 保留下来才能进行计算。子问题的解集构成了所有状态空间的集合。

状态转移方程中， ${f(i-1, j-1)} – a_i$ 表示 $a_i$ 和 $a_{i-1}, a_{i-2}, …, a_{i-j}$ 组成了一个新的振幅，因此需要减去 $a_i$ 。同时，由于我们需要删除 $j$ 个元素，因此我们需要在 $f(i-1, j-1)$ 的基础上增加 $j-1$ 个删除操作。

最终，我们可以得到状态 $f(n,k)$ 的值，就是问题的解。时间复杂度为 $O(nk)$ 。

代码实现如下（Python 3）：

def compute_min_amplitude(S, k):
    n = len(S)
    if n <= k:
        return 0

    dp = [[float('inf')] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = max(S[:i]) - min(S[:i])

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            for p in range(j-1, i):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[p][j-1] - (max(S[p:i]) - min(S[p:i])))

    return dp[n][k]

示例

我们用一个简单的例子来演示算法的执行过程。

假设集合 $S = {2, 6, 8, 10}$ ，需要删除 $k=2$ 个元素。

首先进行初始化，得到 $dp$ 数组：

dp = [
  [inf, inf, inf],
  [  6, inf, inf],
  [  6,   6, inf],
  [  8,   8,   2],
  [ 10,  10,   4]
]

表示从 $S$ 的前 $i$ 个元素中删除 $j$ 个元素所得到的最小振幅。其中， $inf$ 表示无解。

接着，我们进行状态转移。当 $i=4, j=2, p=1$ 时，有：

dp[4][2] = min(dp[4][2], dp[1][1] - (max(S[1:4]) - min(S[1:4])))
         = min(dp[4][2], dp[1][1] - (max([6,8,10]) - min([6,8,10])))
         = min(dp[4][2], 6 - 4)
         = 2

当 $i=4, j=2, p=2$ 时，有：

dp[4][2] = min(dp[4][2], dp[2][1] - (max(S[2:4]) - min(S[2:4])))
         = min(dp[4][2], dp[2][1] - (max([8,10]) - min([8,10])))
         = min(dp[4][2], 6 - 2)
         = 2

当 $i=4, j=2, p=3$ 时，有：

dp[4][2] = min(dp[4][2], dp[3][1] - (max(S[3:4]) - min(S[3:4])))
         = min(dp[4][2], dp[3][1] - (max([10]) - min([10])))
         = min(dp[4][2], 8 - 0)
         = 4

因此， $dp[4][2] = 2$ ，即最小振幅为 $2$ 。