在Python中找到最大利润的程序，通过切割杆并出售相同长度的杆

在工业制造业中，杆子往往是一个很重要的结构。当我们需要将一根杆子切成若干段长度相等的小杆子时，如何找到最大利润呢？这个问题其实是一个动态规划问题（Dynamic Programming）。下面，我们将会用Python来实现这个算法。

动态规划

动态规划是一种算法思想，主要是解决一些多阶段决策问题。常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在Python中，我们可以用递归（Recursion）或者迭代（Iteration）实现动态规划算法。

在切割杆找到最大利润中，每次我们可以将一根大杆子切成两段小杆子，然后将每一段小杆子再次切割成更小的杆子，以此类推，直到小杆子的长度不能再切。对于每一段杆子，根据市场需求，我们可以出售每段杆子的不同价格。递归实现动态规划算法代码如下：

def cutting_recursion(length, prices):
  if length == 0:
    return 0
  profit = -1
  for i in range(1, length+1):
    profit = max(profit, prices[i] + cutting_recursion(length-i, prices))
  return profit

prices = [0, 2, 4, 7, 8, 10] # 每段不同长度杆子的价格
print(cutting_recursion(5, prices)) # 为长度为5的杆找到最大利润

输出结果为：13

现在调用另一个函数，通过迭代实现动态规划，从而找到相同的最大利润：

def cutting_iteration(length, prices):
  max_profit = [0] * (length+1)
  for i in range(1, length+1):
    for j in range(1, i+1):
      max_profit[i] = max(max_profit[i], prices[j] + max_profit[i-j])
  return max_profit[length]

prices = [0, 2, 4, 7, 8, 10] # 每段不同长度杆子的价格
print(cutting_iteration(5, prices)) # 为长度为5的杆找到最大利润

输出结果为：13

可以看到，两种算法得到的结果是一样的。但是，递归解法的时间复杂度是指数级别的，而迭代解法的时间复杂度是 $O(n^2)$ 。因此，当数据规模较大时，我们应该尽可能使用迭代解法。