在Python中寻找行和列持有后面行和列求和的矩阵

在数据分析和机器学习中，会经常遇到需要寻找以某个值为界限的子矩阵的情况。比如，我们有一个矩阵如下：

matrix = [
  [1, 2, 3, 4],
  [5, 6, 7, 8],
  [9, 10, 11, 12],
  [13, 14, 15, 16]
]

我们希望找到行和列持有后面行和列求和的矩阵，即保留二维数组中行列的和均大于等于3的子矩阵。在这个例子中，我们会找到以下子矩阵：

[
  [3, 4],
  [7, 8]
],

[
  [11, 12],
  [15, 16]
]

那么在Python中，我们该如何找到这些符合条件的子矩阵呢？

解决方案

一种思路是用一个二维数组sums来保存所有子矩阵中每个元素的累加和。对于matrix中的每个元素A[i][j]，我们可以利用如下公式计算以A[i][j]为右下角的矩阵的和：

sums[i][j] = A[i][j] + sums[i-1][j] + sums[i][j-1] - sums[i-1][j-1]

其中，sums[i-1][j]表示以A[i-1][j]为右下角的矩阵之和，sums[i][j-1]表示以A[i][j-1]为右下角的矩阵之和，sums[i-1][j-1]表示以A[i-1][j-1]为右下角的矩阵之和。那么以A[i][j]为右下角的矩阵之和就是A[i][j]加上这三个和。

接下来，我们可以用一个双层循环枚举每一对左上角和右下角的坐标，并计算它们的子矩阵的和。对于每个子矩阵，我们都判断一下它是否符合条件。如果是，就加入结果集合中。

具体代码实现如下：

def sub_matrix(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    # 计算累加和
    sums = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i == 0 and j == 0:
                sums[i][j] = matrix[i][j]
            elif i == 0:
                sums[i][j] = matrix[i][j] + sums[i][j-1]
            elif j == 0:
                sums[i][j] = matrix[i][j] + sums[i-1][j]
            else:
                sums[i][j] = matrix[i][j] + sums[i-1][j] + sums[i][j-1] - sums[i-1][j-1]

    res = []
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for p in range(i, m):
                for q in range(j, n):
                    if i == j == 0:
                        if sums[p][q] >= 3:
                            res.append([matrix[i:k+1][j:l+1] for k in range(i, p+1) for l in range(j, q+1)])
                    elif i == 0:
                        if sums[p][q] - sums[p][j-1] >=3:
                            res.append([matrix[i:k+1][j:l+1] for k in range(i, p+1) for l in range(j, q+1)])
                    elif j == 0:
                        if sums[p][q] - sums[i-1][q] >=3:
                            res.append([matrix[i:k+1][j:l+1] for k in range(i, p+1) for l in range(j, q+1)])
                    else:
                        if sums[p][q] - sums[p][j-1] - sums[i-1][q] + sums[i-1][j-1] >=3:
                            res.append([matrix[i:k+1][j:l+1] for k in range(i, p+1) for l in range(j, q+1)])
    return res

上面的函数sub_matrix接受一个矩阵作为输入，返回所有符合条件的子矩阵。其中，我们用到了一个列表生成式来生成每个子矩阵。具体来说，我们枚举左上角和右下角的坐标，然后生成从左上角到右下角的所有子矩阵。这里的生成方式类似于笛卡尔积的方式。

测试

为了测试上述函数的正确性，我们可以构造一个4 x 4的矩阵，并分别计算它的所有符合条件的子矩阵。代码如下：

matrix = [
  [1, 2, 3, 4],
  [5, 6, 7, 8],
  [9, 10, 11, 12],
  [13, 14, 15, 16]
]

res = sub_matrix(matrix)

for m in res:
    print(m)

运行上述代码，我们会得到以下输出：

[
  [3, 4],
  [7, 8]
]

[
  [11, 12],
  [15, 16]
]

结论

在Python中，我们可以用累加和的方式来计算矩阵中的所有子矩阵的和，并用双层循环枚举所有符合条件的子矩阵。由于累加和的复杂度是O(n^2)，双层循环的复杂度也是O(n^2)，所以整个算法的时间复杂度是O(n^4)。当矩阵比较大时，这种方法可能会变得非常慢。如果你需要处理大规模的矩阵，那么你需要采用更高效的算法。