在Python中找到最短超序列的长度

超序列是指一个序列中包含另外两个序列的所有元素，但是元素的相对顺序可以不同。在编程中，经常需要求两个序列的最短超序列长度，本文将介绍如何在Python中实现这个功能。

问题描述

假设我们有两个序列 $A$ 和 $B$ ，它们的长度分别为 $n$ 和 $m$ 。现在需要在一个序列 $C$ 中找到一个最短的超序列，使得 $A$ 和 $B$ 中的元素都可以在 $C$ 中找到。

解决方案

这个问题可以使用动态规划来解决，具体步骤如下：

创建一个二维数组 $dp$ ，其中 $dp[i][j]$ 表示序列 $A$ 的前 $i$ 个元素和序列 $B$ 的前 $j$ 个元素的最短超序列长度。
初始化 $dp$ 数组，当 $i=0$ 或 $j=0$ 时， $dp[i][j]$ 的值为 $i+j$ 。因为此时最短超序列即为 $A$ 和 $B$ 的并集。
从 $dp[1][1]$ 开始，遍历二维数组 $dp$ 。
1. 如果 $A[i-1] = B[j-1]$ ，那么此时可以将这个相同的元素添加到超序列 $C$ 中，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1$ 。
2. 如果 $A[i-1] \neq B[j-1]$ ，那么此时需要在 $A[i-1]$ 和 $B[j-1]$ 中选择一个元素添加到超序列 $C$ 中。
  - 如果选择 $A[i-1]$ ，那么 $B[j-1]$ 就不能添加到超序列 $C$ 中，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1$ 。
  - 如果选择 $B[j-1]$ ，那么 $A[i-1]$ 就不能添加到超序列 $C$ 中，此时 $dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1$ 。
  - 为了找到最短的超序列，需要选择 $dp[i][j]$ 的最小值。
最后得到 $dp[n][m]$ 即为最短超序列的长度。

接下来，让我们用Python代码来实现这个算法：

def shortest_common_supersequence(A, B):
    n, m = len(A), len(B)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 初始化
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(m + 1):
        dp[0][j] = j

    # 动态规划
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if A[i-1] == B[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

    return dp[n][m]

测试

为了验证算法的正确性，我们可以编写一些测试用例：

assert shortest_common_supersequence('abc', 'def') == 6
assert shortest_common_supersequence('abc', 'aadfc') == 7
assert shortest_common_supersequence('AGGTAB', 'GXTXAYB') == 9