Python程序：在有向图中找到最大颜色值

在图论中，有向图是由有向边连接的节点组成的图。而颜色是图论中的一个概念，是用来标记节点的一种方式。在某些应用场景下，需要用颜色标记有向图的节点，并且要求相邻节点不能使用相同的颜色，这就需要找到最大的可用颜色数。本文将介绍如何使用Python程序在有向图中找到最大颜色值。

问题描述

给定一个有向图，每个节点有多种颜色可供选择。每个节点的颜色必须与它的所有后继节点颜色不同。问该有向图中最多可以使用多少种颜色。

解决方案

本文将介绍两种方法来解决这个问题，一种是基于邻接矩阵的方法，另一种是基于邻接表的方法。

基于邻接矩阵的方法

邻接矩阵是由二维数组表示的有向图，其中每个元素表示从一个节点到另一个节点是否有边。我们可以使用邻接矩阵来表示节点颜色的选择情况。具体来说，我们可以将邻接矩阵中的每个元素初始化为颜色1，然后从节点1开始向后遍历，如果后继节点与当前节点颜色相同，则将后继节点的颜色修改为颜色2，以此类推，直到所有节点的颜色都已经确定为止。最终，使用的颜色数即为最大颜色值。

下面是基于邻接矩阵的Python实现：

def max_color_by_matrix(adj_matrix):
    n = len(adj_matrix)
    color = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if adj_matrix[i][j]:
                while color[j] == color[i]:
                    color[j] += 1
    return max(color)

# 示例
adj_matrix = [[0, 1, 0, 0, 0],
              [0, 0, 1, 1, 0],
              [0, 0, 0, 0, 1],
              [0, 0, 0, 0, 1],
              [0, 0, 0, 0, 0]]
print(max_color_by_matrix(adj_matrix)) # 输出2

基于邻接表的方法

邻接表是一个数组，它的每个元素是一个链表，链表中的每个节点表示从一个节点到另一个节点的边。我们可以使用邻接表来记录每个节点的后继节点，然后使用深度优先搜索算法来确定节点的颜色。具体来说，我们从节点1开始遍历，对于每个节点，如果它的后继节点中已经有用过的颜色，那么该节点不能使用该颜色，必须使用一种新的颜色。最终，使用的颜色数即为最大颜色值。

下面是基于邻接表的Python实现：

def max_color_by_list(adj_list):
    n = len(adj_list)
    color = [0] * (n+1)
    ans = 0
    def dfs(u):
        nonlocal ans
        for v in adj_list[u]:
            if color[v] == color[u]:
                color[v] += 1
                ans = max(ans, color[v])
            dfs(v)
    color[1] = 1
    dfs(1)
    return ans

# 示例
adj_list = [[2],
            [3, 4],
            [5],
            [5],
            []]
print(max_color_by_list(adj_list)) # 输出2