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Python程序：找到只有一个解的线性方程的系数

在数学上，一次方程是指只包含一个未知数的方程，格式通常为 ax + b = c，其中 a、b、c 为系数或常数。如果一个一次方程只有一个根，也就是只有一个解，那么这个方程就是唯一解方程。本文将使用 Python 编程语言解决这个问题。

问题描述

给出一些一次方程，每个方程有两个未知系数 x 和 y，如下所示：

2x + 3y = 7
4x - 5y = 8

要求使用 Python 自动找出这些一次方程中所有系数都是整数（包括变量系数和常数）且只有一个解的方程。

解决方案

解决这个问题的一种方法是将每个方程表示成矩阵形式，即 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知系数矩阵，b 是常数矩阵。

对于每个方程，我们可以通过以下步骤将其表示成矩阵形式：

利用 sympy 模块的方程求解功能来找到 x 和 y 的值。
将 x 和 y 的值组成未知系数矩阵 X。
将方程左侧的 x 和 y 的系数组成系数矩阵 A。
将方程右侧的常数组成常数矩阵 B。

最后，只需要检查矩阵 A 是否可逆（即行列式不等于 0），并且解向量 X 是否合法（即未知系数都是整数），就可以判断这个方程是否是唯一解方程。

综上所述，解决这个问题的主要步骤如下：

安装 sympy 模块。
计算每个方程的系数矩阵 A、常数矩阵 B，并检查 A 是否可逆。
检查解向量 X 是否合法，即所有未知系数是否都是整数且解向量 X 的长度为 2。
输出只有一个解的方程的系数和解向量。

下面是 Python 代码：

import sympy

def check_equations(equations):
    """
    Check if each equation has a unique solution with integer coefficients.
    """
    unique_coeffs = []
    for eq in equations:
        # Step 1: solve the equation symbolically
        x, y = sympy.symbols('x y')
        solutions = sympy.solve(eq, [x, y])

        # Step 2: check the solution vector's length and integer
        solution_vector = [solutions[x], solutions[y]]
        if len(solution_vector) != 2:
            continue
        if not all(s.is_integer() for s in solution_vector):
            continue

        # Step 3: check that the coefficient matrix is invertible
        coeffs = []
        for var in ('x', 'y'):
            for coef in eq.coeff(var), eq.coeff(var, 1):
                if coef.is_integer():
                    coeffs.append(int(coef))
                else:
                    break
        if len(coeffs) != 4:
            continue
        if not _is_invertible(matrix(coeffs)):
            continue

        # Step 4: save the unique coefficient
        unique_coeffs.append(coeffs)

    return unique_coeffs

def _is_invertible(m):
    """
    Check if the matrix `m` is invertible.
    """
    return m.det() != 0

def matrix(lst):
    """
    Convert a list to a matrix.
    """
    return sympy.Matrix([lst[:2], lst[2:]])

# example equations
eq1 = sympy.Eq(2 *x + 3 * y, 7)
eq2 = sympy.Eq(4 * x - 5 * y, 8)
eq3 = sympy.Eq(3 * x + 6 * y, 9)

# check the equations
unique_coeffs = check_equations([eq1, eq2, eq3])

# print the unique coefficients and their solutions
for coeffs in unique_coeffs:
    print(f"{coeffs[0]}x + {coeffs[1]}y = {coeffs[2]}")
    x_val, y_val = sympy.solve(matrix(coeffs) * matrix([x, y]) - matrix([coeffs[2], coeffs[3]]), [x, y])
    print(f"x = {x_val}, y = {y_val}")

这段代码输出符合条件的方程的系数和解向量。