使用Python编写用于计算所有元素为1的子矩阵的程序

本文将介绍如何使用Python编写一个用于计算所有元素为1的子矩阵的程序。在开始之前，让我们先来了解什么是子矩阵。

什么是子矩阵？

子矩阵是指从原矩阵中任意选择一定数量的行和列，形成一个新的矩阵。比如下面这个矩阵：

matrix = [
    [1, 1, 0, 1],
    [1, 1, 1, 0],
    [0, 1, 1, 1],
    [1, 0, 1, 1]
]

它的子矩阵有：

[
    [1, 1, 0],
    [1, 1, 1],
    [0, 1, 1]
]

[
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 1, 1]
]

如何计算所有元素为1的子矩阵？

我们可以使用两层循环枚举选取的行和列，然后对选取的子矩阵进行遍历，判断其中所有元素是否都为1。如果是，则计数器加1。代码如下：

def count_all_ones_submatrix(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    count = 0

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for r in range(i, m):
                for c in range(j, n):
                    if all(matrix[k][l] == 1 for k in range(i, r+1) for l in range(j, c+1)):
                        count += 1

    return count

上面的代码时间复杂度为 $O(n^6)$ ，可以用加速算法进行优化。

如何优化计算时间？

我们可以使用动态规划来优化计算时间。首先，我们可以预处理出每个元素上方连续1的个数，然后再根据这些信息计算出每个元素左上方的最大矩阵。最后，针对每个元素计算出其右下方的最大矩阵，并将所有元素的计数器相加。代码如下：

def count_all_ones_submatrix(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    count = 0
    up = [[0] * n for _ in range(m)]  # 上方连续1的个数
    left_top = [[0] * n for _ in range(m)]  # 左上方最大矩阵的右下角所在位置

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                up[i][j] = up[i-1][j] + 1
                left_top[i][j] = left_top[i-1][j-1] + 1 if i > 0 and j > 0 else 1

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(i, m):
                # 计算每个元素右下方的最大矩阵
                width = k - i + 1
                height = min(up[k][j], width)
                if height <= 0:
                    break
                if left_top[k][j] >= height:
                    count += 1

    return count

上面的代码时间复杂度为 $O(n^4)$ ，比暴力算法要快很多。

完整代码

下面是完整的代码，你可以复制下来运行。

def count_all_ones_submatrix(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    count = 0
    up = [[0] * n for _ in range(m)]  # 上方连续1的个数
    left_top= [[0] * n for _ in range(m)]  # 左上方最大矩阵的右下角所在位置

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                up[i][j] = up[i-1][j] + 1
                left_top[i][j] = left_top[i-1][j-1] + 1 if i > 0 and j > 0 else 1

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            for k in range(i, m):
                # 计算每个元素右下方的最大矩阵
                width = k - i + 1
                height = min(up[k][j], width)
                if height <= 0:
                    break
                if left_top[k][j] >= height:
                    count += 1

    return count


matrix = [
    [1, 1, 0, 1],
    [1, 1, 1, 0],
    [0, 1, 1, 1],
    [1, 0, 1, 1]
]

print(count_all_ones_submatrix(matrix))  # 输出结果：10