极客笔记Python 中计算落在同一直线上的点的数量的程序
在数学和计算机科学中，经常需要判断几个点是否在同一直线上。例如，绘制图形、拟合函数、地图学等。本文将介绍如何在 Python 中编写程序来计算落在同一直线上的点的数量。我们将介绍两种常见的方法：暴力求解和使用斜率/截距来计算。
暴力求解
暴力求解是最简单的方法。我们首先遍历所有点对，然后对每一对点，我们检查是否与其他点在同一直线上。
假设我们有一个列表 points 存储点的坐标，其中每个坐标都是一个二元组 (x, y)，
points = [(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7), (8,8), (9,9)]
我们可以使用两个嵌套的 for 循环来遍历所有点对：
num_of_points_on_line = 0
for i in range(len(points)):
for j in range(i+1, len(points)):
#检查是否在同一直线上
pass
print(num_of_points_on_line)
现在我们需要编写检查点是否在同一直线上的代码。我们可以使用找斜率的方法。由于我们需要比较两个数字，所以在比较时应使用浮点数。当斜率相同时，两点在同一直线上：
num_of_points_on_line = 0
for i in range(len(points)):
for j in range(i+1, len(points)):
#找到斜率
if points[i][0] - points[j][0] != 0: #分子不为0
slope = (points[i][1] - points[j][1]) / (points[i][0] - points[j][0])
for k in range(j+1, len(points)):
#检查斜率是否相等
if points[i][0] - points[k][0] != 0:
slope2 = (points[i][1] - points[k][1]) / (points[i][0] - points[k][0])
if abs(slope - slope2) < 0.1**10: #当斜率相等时，两点在同一直线上
num_of_points_on_line += 1
#当两点处于竖直线时
else:
for k in range(j+1, len(points)):
if points[i][0] == points[k][0]:
num_of_points_on_line += 1
print(num_of_points_on_line)
这个程序输出 36，即有 36 个点在同一直线上。
暴力求解的时间复杂度为 O(n^3)，因此对于大数量的点，运行时间可能较长。
使用斜率/截距
如果我们使用斜率/截距的方法，我们可以将时间复杂度降为 O(n^2)。
当两点 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) 处于同一直线上时，其斜率 (y2 – y1) / (x2 – x1) 和所有其他点 P(x,y) 的斜率应该相等。为了避免浮点数精度问题，我们可以使用斜率的倒数，即 (x2 – x1) / (y2 – y1) 和其他点 P(x,y) 之间的斜率比较。
我们可以首先找到由两个点确定的直线的斜率和截距：
def slope_intercept(point1, point2):
x1, y1 = point1
x2, y2 = point2
if x2 == x1:
return float('inf'), x1
slope = (y1 - y2) / (x1 - x2)
intercept = y1- slope * x1
return slope, intercept
现在我们遍历所有点，并找到与每个点形成的直线相同斜率和截距的点数量：
num_of_points_on_line = 0
for i in range(len(points)):
#保存斜率和截距
slopes = {}
for j in range(i+1, len(points)):
slope, intercept = slope_intercept(points[i], points[j])
if (slope, intercept) in slopes:
slopes[(slope, intercept)] += 1
else:
slopes[(slope, intercept)] = 1
#找到最大数量的点
if slopes:
max_count = max(slopes.values())
num_of_points_on_line += max_count
print(num_of_points_on_line)
这个程序输出 36，即有 36 个点在同一直线上。
完整代码
下面是完整的 Python 代码，包括两种解决方案：
points = [(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7), (8,8), (9,9)]
#暴力求解
num_of_points_on_line = 0
for i in range(len(points)):
for j in range(i+1, len(points)):
#找到斜率
if points[i][0] - points[j][0] != 0: #分子不为0
slope = (points[i][1] - points[j][1]) / (points[i][0] - points[j][0])
for k in range(j+1, len(points)):
#检查斜率是否相等
if points[i][0] - points[k][0] != 0:
slope2 = (points[i][1] - points[k][1]) / (points[i][0] - points[k][0])
if abs(slope - slope2) < 0.1**10: #当斜率相等时，两点在同一直线上
num_of_points_on_line += 1
#当两点处于竖直线时
else:
for k in range(j+1, len(points)):
if points[i][0] == points[k][0]:
num_of_points_on_line += 1
print(num_of_points_on_line)
#使用斜率/截距
def slope_intercept(point1, point2):
x1, y1 = point1
x2, y2 = point2
if x2 == x1:
return float('inf'), x1
slope = (y1 - y2) / (x1 - x2)
intercept = y1 - slope * x1
return slope, intercept
num_of_points_on_line = 0
for i in range(len(points)):
#保存斜率和截距
slopes = {}
for j in range(i+1, len(points)):
slope, intercept = slope_intercept(points[i], points[j])
if (slope, intercept) in slopes:
slopes[(slope, intercept)] += 1
else:
slopes[(slope, intercept)] = 1
#找到最大数量的点
if slopes:
max_count = max(slopes.values())
num_of_points_on_line += max_count
print(num_of_points_on_line)
结论
本文介绍了两种方法来计算在同一直线上的点的数量：暴力求解和使用斜率/截距。暴力求解较为简单，但时间复杂度较高，适合小型问题。使用斜率/截距可以将时间复杂度降低到 O(n^2)，适用于较大的问题。