Numpy 稀疏矩阵与余弦相似度计算

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy处理大规模稀疏矩阵并计算余弦相似度。首先，我们需要了解一些基本概念。

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稀疏矩阵

稀疏矩阵是指大部分元素为零的矩阵。对于大规模数据而言，我们常常可以使用稀疏矩阵来存储和处理数据，以节省空间和提高效率。

COO格式

在Numpy中，我们可以使用COO格式来表示稀疏矩阵。COO格式是指使用三个数组来存储非零元素的行、列和值。例如，对于一个3×3的稀疏矩阵：

0 1 0
0 0 2
3 0 4

可以用如下方式表示：

import numpy as np

rows = np.array([0, 1, 2, 2])
cols = np.array([1, 2, 0, 2])
vals = np.array([1, 2, 3, 4])

coo_matrix = np.zeros((3, 3))
coo_matrix[rows, cols] = vals

余弦相似度

余弦相似度是指两个向量之间的夹角余弦值，它可以用来衡量两个向量之间的相似度。例如，对于两个向量a和b，其余弦相似度为：

$similarity = cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i b_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} a_i^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} b_i^2}}$

在Numpy中，可以使用cosine函数来计算余弦相似度。具体实现如下：

from numpy import dot
from numpy.linalg import norm

def cosine_similarity(a, b):
    return dot(a, b) / (norm(a) * norm(b))

COO格式下的余弦相似度计算

在处理大规模稀疏矩阵时，我们可以使用COO格式下的余弦相似度计算。对于一个稀疏矩阵，我们可以对其行和列进行分别压缩，得到该矩阵的压缩稀疏行(CSR)和压缩稀疏列(CSC)格式。这两种格式都可以用于快速计算稀疏矩阵乘法和点积运算。

以CSR格式为例，我们可以使用如下代码计算两个稀疏矩阵之间的余弦相似度：

import numpy as np

def csr_cosine_similarity(a, b):
    a = np.asarray(a.toarray(), dtype=np.float32)
    b = np.asarray(b.toarray(), dtype=np.float32)
    a_ns = np.linalg.norm(a, axis=1)
    b_ns = np.linalg.norm(b, axis=1)
    similarity = np.zeros((a.shape[0], b.shape[0]), dtype=np.float32)
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(b.shape[0]):
            similarity[i, j] = np.dot(a[i], b[j]) / (a_ns[i] * b_ns[j])
    return similarity

在上述代码中，我们首先将稀疏矩阵转换为密集矩阵，然后计算矩阵每一行的范数，并使用循环来计算余弦相似度。该方法的缺点是需要大量的内存和计算量，不适用于大规模数据的场景。

CSR格式下的余弦相似度计算优化

为了解决上述方法的缺点，我们可以使用Numpy的矩阵成分乘积运算来优化余弦相似度计算过程。具体实现如下：

import numpy as np
from scipy.sparse import issparse

def csr_cosine_similarity_optimized(a, b):
    if issparse(a):
        a = np.asarray(a.toarray(), dtype=np.float32)
    if issparse(b):
        b = np.asarray(b.toarray(), dtype=np.float32)
    a_ns = np.linalg.norm(a, axis=1)
    b_ns = np.linalg.norm(b, axis=1)
    similarity = np.dot(a, b.T) / np.outer(a_ns, b_ns)
    return similarity

在上述代码中，我们首先检查输入的矩阵是否为稀疏矩阵，并将其转换为密集矩阵。然后我们使用矩阵成分乘积运算来计算余弦相似度，从而大大减少了计算量和内存占用。