Numpy 求解特征值的两种方法：linalg.eig()和linalg.eigh()

在Numpy中，求解矩阵的特征值与特征向量是一项常见操作，可以使用Numpy的线性代数库（linalg）中的函数实现。其中，linalg.eig()和linalg.eigh()是两个用于求解特征值和特征向量的函数。这两个函数看起来很相似，但实际上它们之间有很大的区别。

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什么是特征值和特征向量

在矩阵理论中，特征值和特征向量是非常重要的概念。简单来说，对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得A乘以v等于这个向量的一个常数λ（lambda）乘以v，即Av=λv，则称这个常数λ为矩阵A的一个特征值，v为对应的特征向量。

在实际应用中，矩阵的特征值和特征向量可以用于很多方面，例如：在图像处理中，通过将图像转化为矩阵，则可以利用特征值和特征向量对图像进行压缩和降维处理；在机器学习中，特征值和特征向量可以用来对数据进行降维处理或特征选择。

linalg.eig()函数

linalg.eig()函数用于计算矩阵的特征值和特征向量。该函数的语法为：

numpy.linalg.eig(a)

其中，a为输入的矩阵。该函数的返回值为一个元组，包含两个数组：

w：输入矩阵的特征值，为一个一维数组；
v：输入矩阵的特征向量，为一个二维数组，其中每一列为一个特征向量。

示例代码：

import numpy as np

# 定义一个二维数组
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 使用linalg.eig()函数求解矩阵的特征值和特征向量
w, v = np.linalg.eig(A)

print("特征值：", w)
print("特征向量：", v)

输出结果：

特征值： [-0.37228132  5.37228132]
特征向量： [[-0.82456484 -0.41597356]
 [ 0.56576746 -0.90937671]]

从输出结果可以看出，该二维数组的特征值为[-0.37228132, 5.37228132]，特征向量为[[-0.82456484, -0.41597356], [0.56576746, -0.90937671]]。

linalg.eigh()函数

与linalg.eig()函数不同，linalg.eigh()函数是专门用于求解对称矩阵的特征值和特征向量的。对称矩阵是一种特殊的矩阵，满足矩阵的转置等于矩阵本身，即A = A.T。对于对称矩阵，其特征向量一定正交，这使得linalg.eigh()函数比linalg.eig()函数更加快速和稳定。

linalg.eigh()函数的语法为：

numpy.linalg.eigh(a, UPLO='L')

其中，a为输入的对称矩阵，UPLO参数用于指定是否保存上三角或下三角部分，取值为’L’（默认值，保存下三角部分）或’U’（保存上三角部分）。该函数的返回值也是一个元组，包含两个数组：

w：输入矩阵的特征值，为一个一维数组；
v：输入矩阵的特征向量，为一个二维数组，其中每一列为一个特征向量。

示例代码：

import numpy as np

# 定义一个对称矩阵
A = np.array([[3, 1], [1, 3]])

# 使用linalg.eigh()函数求解矩阵的特征值和特征向量
w, v = np.linalg.eigh(A)

print("特征值：", w)
print("特征向量：", v)

输出结果：

特征值： [2. 4.]
特征向量： [[-0.70710678  0.70710678]
 [ 0.70710678  0.70710678]]

从输出结果可以看出，该对称矩阵的特征值为[2, 4]，特征向量为[[-0.70710678, 0.70710678], [0.70710678, 0.70710678]]。

linalg.eig()和linalg.eigh()的区别

linalg.eig()和linalg.eigh()函数之间的主要区别在于，linalg.eig()函数可以用于任意矩阵（包括非对称矩阵），而linalg.eigh()函数只能用于对称矩阵。此外，linalg.eigh()函数比linalg.eig()函数更加快速和稳定，因为对于对称矩阵，其特征向量一定正交，这使得计算更容易。

另外一个区别是返回的特征值和特征向量的顺序不一样。在linalg.eig()函数中，返回的特征值和特征向量的顺序没有规定；而在linalg.eigh()函数中，返回的特征值按照从小到大的顺序排列，特征向量按照对应的特征值排列。这意味着在使用linalg.eig()函数时，如果需要按照特定的顺序排列特征值和特征向量，需要自己进行处理。

总结

在Numpy中，求解特征值和特征向量是非常常见的操作。使用linalg.eig()函数和linalg.eigh()函数可以方便地计算矩阵的特征值和特征向量。linalg.eig()函数可以用于任意矩阵，而linalg.eigh()函数只能用于对称矩阵。在使用时，需要注意它们之间的区别，并选择合适的函数进行计算。