用NumPy解决齐次线性方程组

在本文中，我们将介绍如何使用NumPy库解决齐次线性方程组，对于一个齐次线性方程组 Ax=0（其中A是一个系数矩阵，x是未知变量，0是一个零向量），我们可以使用NumPy库中的numpy.linalg.solve()函数，它可以用于求解线性方程组，对于齐次线性方程组，因为所有项的系数都是0，所以可以直接使用该函数求解，得到Ax=0的所有解，而且还可以处理非齐次线性方程组。

import numpy as np
A = np.array([[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 11]])
b = np.array([0, 0, 0])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)

以上代码用于解决一个系数矩阵A为[[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 11]]，常数项b为[0, 0, 0]，的齐次线性方程组Ax=0，结果为x=[0, 0, 0]。

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可逆方阵的情况

如果系数矩阵A是一个可逆矩阵（行列式不为0），则齐次线性方程组只有零解（x=[0, 0, 0]），这是因为可逆矩阵A中的n个列向量线性无关，因此只有零向量才能使它们的线性组合等于零向量，而且该解是唯一的。

A = np.array([[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 11]])
x = np.linalg.solve(A, np.zeros(A.shape[0]))
print(x)

以上代码用于解决一个可逆系数矩阵A为[[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 11]]，常数项为零向量（[0, 0, 0]），结果为x=[0, 0, 0]。

奇异矩阵的情况

但是，如果系数矩阵A是奇异矩阵（行列式为0），则零解不再是唯一解法了。此时方程的通解由两部分组成：

特解：一个特殊的解x，使得Ax=0；
非齐次线性方程的通解：由特解和由系数矩阵的零空间生成的基础解系线性组合而成。

例如，对于系数矩阵为[[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 8, 11]]的齐次线性方程组Ax=0，注意到该矩阵是奇异的，所以我们需要计算其零空间的基础解系。

A = np.array([[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 8, 11]])
w, v = np.linalg.eig(A)
print(v)

其中numpy.linalg.eig()函数用于计算方阵的特征值和特征向量，其返回值w是该方阵的特征值数组，v是该方阵的特征向量数组，每列为该方阵的一个特征向量，因此我们可以选择其中所有特征值为0的特征向量作为零空间的基础解系，然后进行线性组合，得到Ax=0的通解。

basis = v[:, :2]
x = basisx = np.hstack((basis[:, :], -basis[:, :]))
t = np.random.rand(2)
print(A @ x @ t) # 输出结果应该接近于零向量

以上代码用于计算一个系数矩阵为[[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 8, 11]]的齐次线性方程组Ax=0的通解。假设我们选择其特征值为0的两个特征向量为基础解系，通过线性组合得到通解x的形式，然后我们随机生成一个长度为2的向量t，然后将其代入Ax=0的通解中，得到结果应该接近于零向量。

此外，对于非齐次线性方程组Ax=b，我们可以首先使用numpy.linalg.lstsq()函数求出最小二乘解x_，然后使用零空间基础解系来构造通解：

A = np.array([[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 8, 11]])
b = np.array([1, 2, 3])
x_ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)[0]
print(x_) # 输出最小二乘解
w, v = np.linalg.eig(A)
basis = v[:, :2]
x = np.hstack((basis[:, :], -basis[:, :]))
print(x @ np.random.rand(2) + x_) # 输出非齐次线性方程组的通解

以上代码用于计算一个非齐次线性方程组Ax=b的通解，其中系数矩阵A为[[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 8, 11]]，常数项为b=[1, 2, 3]。首先使用numpy.linalg.lstsq()函数求出最小二乘解x_，然后计算出系数矩阵的零空间基础解系作为通解的一部分，最后将其线性组合起来得到非齐次线性方程组的通解。