Numpy Python: 球体的交集

在本文中，我们将介绍如何使用Python的Numpy模块来计算多个球体之间的交集。这个问题在几何学、物理学和计算机图形学中都比较常见。

为了简化问题，我们考虑三维空间中的两个球体，球心分别位于 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ ，半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$ 。我们的目标是找到它们之间的交集部分。

我们可以把这个问题分成三种情况。

阅读更多：Numpy 教程

没有交集

如果两个球体没有交集，也就是它们的距离 $D$ 大于它们的半径之和 $r_1+r_2$ ，那么它们之间没有公共部分。这种情况很容易判断，可以使用Numpy的norm函数来计算球心之间的距离。

import numpy as np

x1, y1, z1 = 0, 0, 0
x2, y2, z2 = 3, 0, 0
r1, r2 = 1, 2

D = np.linalg.norm([x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1])
if D > r1 + r2:
    print("两个球体没有交集")

一个球体在另一个内部

如果一个球体完全包含在另一个球体内部，那么它们之间的交集就是它本身。这种情况也很容易判断。

import numpy as np

x1, y1, z1 = 0, 0, 0
x2, y2, z2 = 1, 0, 0
r1, r2 = 2, 1

D = np.linalg.norm([x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1])
if D < r1 - r2:
    print("球体2在球体1内部，它们的交集是球体2本身")

有交集

如果两个球体相切或者相交，那么它们之间的交集就是一个圆盘或者球缺。我们需要求出圆盘或者球缺的半径和高度。

首先，我们可以通过向量之间的点积来计算出球心之间的夹角 $\theta$ 。

$cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$

其中 $\vec{AB}$ 是向量 $(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ ， $\vec{CD}$ 是向量 $(r_1,r_2,D)$ 。

import numpy as np

x1, y1, z1 = 0, 0, 0
x2, y2, z2 = 1, 0, 0
r1, r2 = 1, 1

D = np.linalg.norm([x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1])
cos_theta = (r1**2 + D**2 - r2**2) / (2 * r1 * D)
theta = np.arccos(cos_theta)

然后，我们可以计算出交集部分的高度 $h$ 。如果两个球体相交，交集部分的高度就是 $r_1 – r_2 + D cos \theta$ 。如果两个球体相切，交集部分的高度就是 $r_1$ 。

if D < r1 + r2:
    if D > r1 - r2:
        h = r1 - r2 + D * cos_theta
    else:
        h = r1

最后，我们可以计算出交集部分的面积或者体积，根据交集类型的不同，它们也有不同的计算方法。

如果两个球体相切，交集部分是一个圆盘，可以使用下面的公式计算面积。

$A = r_1^2 \cdot \cos^{-1} \frac{h}{r_1} – h \cdot \sqrt{r_1^2 – h^2}$

if D == r1 + r2:
    A = r1**2 * np.arccos(h/r1) - h * np.sqrt(r1**2 - h**2)
    print("交集面积为：", A)

如果两个球体相交并且不相切，交集部分是一个球缺，可以使用下面的公式计算体积。

$V = \frac{\pi h^2}{3}(3r_1 – h)$

elif D < r1 + r2:
    V = np.pi * h**2/3 * (3*r1 - h)
    print("交集体积为：", V)

下面是完整的代码实现：

import numpy as np

x1, y1, z1 = 0, 0, 0
x2, y2, z2 = 1, 0, 0
r1, r2 = 1, 1

D = np.linalg.norm([x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1])
cos_theta = (r1**2 + D**2 - r2**2) / (2 * r1 * D)
theta = np.arccos(cos_theta)
if D < r1 - r2:
    print("球体2在球体1内部，它们的交集是球体2本身")
elif D == r1 + r2:
    h = r1
    A = r1**2 * np.arccos(h/r1) - h * np.sqrt(r1**2 - h**2)
    print("交集面积为：", A)
elif D < r1 + r2:
    h = r1 - r2 + D * cos_theta
    V = np.pi * h**2/3 * (3*r1 - h)
    print("交集体积为：", V)
else:
    print("两个球体没有交集")