Numpy 如何从矩阵中找到线性独立行

使用numpy操作矩阵时，有时候需要将矩阵中所有线性相关的行去掉，只留下线性独立的行。本文将详细介绍如何使用numpy找到一个矩阵中的线性独立行。

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线性相关和线性独立

在介绍如何找到线性独立行之前，我们先来了解一下线性相关和线性独立的概念。

线性相关

当一组向量中存在一个向量可以由其余向量线性表示时，这组向量就是线性相关的。

例如，以下两个向量就是线性相关的：

[1 2 3]  =  [2 4 6]/2
[2 4 6]

线性独立

当一组向量中不存在一个向量可以由其余向量线性表示时，这组向量就是线性独立的。

例如，以下两个向量就是线性独立的：

[1 2 3]
[2 4 6]

寻找线性独立行的方法

对于一个矩阵，我们需要找到其中线性独立的行。这可以通过下面两步来实现：

将矩阵的行向量转置为列向量，形成列向量组。
对列向量组执行QR分解，判断矩阵的秩。

QR分解

QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程。通常使用numpy中的Q,R = numpy.linalg.qr(A,mode=’complete’)函数来实现。其中A为原矩阵，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

以下是使用QR分解来分解一个矩阵的例子：

import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 7]])
q, r = np.linalg.qr(a, mode='complete')
print(q)
print(r)

输出：

[[-0.26726124  0.87287156  0.40824829]
 [-0.53452248  0.21821789 -0.81649658]
 [-0.80178373 -0.43643578  0.40824829]]
[[-3.74165739 -6.11010134 -8.63963924]
 [ 0.         -0.43643578 -0.98198051]
 [ 0.          0.         -0.16329932]]

寻找线性独立行

对于一个矩阵A，如果其中存在一些线性相关的行，那么这些行可以由其他行线性表示。此时，这些行所对应的列向量在QR分解后，会存在对角线上非常小（接近0）的元素。因此，我们可以根据QR分解后矩阵的秩来判断矩阵中线性独立的行数。

下面是一个寻找线性独立行的例子：

import numpy as np
def independent_rows(X, tol=1e-15):
    Q, R = np.linalg.qr(X.T)
    rank = np.sum(np.abs(np.diag(R)) > tol)
    lin_indep_rows = X.shape[0] - rank
    return lin_indep_rows

a = np.array([[1, 2, 2], [2, 4, 5], [3, 6, 8]])
lin_indep_rows = independent_rows(a)
print(lin_indep_rows)

输出：