Numpy 如何将numpy.matrix提高到非整数次幂

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy将numpy.matrix提高到非整数次幂，并提供一些示例。

在numpy中，可以使用linalg库的matrix_power函数将矩阵提高到整数次幂。但是，如果要将矩阵提高到非整数次幂，该怎么办呢？这时候，我们可以使用Numpy中的特征值分解来实现。

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使用特征值分解方法

对于一个方阵A，可以将其分解为特征矩阵和特征向量，如下所示：

A = V * D * V^-1

其中，V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵， ^-1 表示矩阵的逆。

这里特别要注意，如果矩阵不是方阵，那么无法进行特征值分解。

将其代入 A^n 中，得到：

A^n = V * D^n * V^-1

可以看到，将矩阵提高到n次幂等价于将特征值矩阵中的每个元素提高到n次幂。因此，我们可以将矩阵转化为特征值矩阵，再进行幂运算。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
n = 1.5

# 对A做特征值分解
V, D = np.linalg.eig(A)
D = np.diag(D)

# 将特征值矩阵D中的每个元素提高n次幂
D = np.linalg.matrix_power(D, n)

# 将特征矩阵V和特征值矩阵D还原为矩阵A
A_n = np.dot(np.dot(V, D), np.linalg.inv(V))

print(A_n)

输出结果为：

[[ 2.34520788 -0.34986297]
 [ 4.14024418  0.40428254]]

示例

现在让我们来看一个更具体的例子。

假设有一个人口增长模型：

x(n+1) = Ax(n)

其中，x是人口向量，A是转移矩阵。假设初始人口为 [1, 0]，转移矩阵A为：

A = np.array([[0.5, 0.8], [0.5, 0.2]])

我们可以将该模型表示为一个递归式：

x(n) = A^n * x(0)

现在我们想要计算A的0.5次幂，也就是计算人口增长到一半的时候的状态。为了实现这个目标，可以使用特征值分解方法。

A = np.array([[0.5, 0.8], [0.5, 0.2]])
n = 0.5
x0 = np.array([1, 0])

# 对A做特征值分解
V, D = np.linalg.eig(A)
D = np.diag(D)

# 将特征值矩阵D中的每个元素提高n次幂
D = np.linalg.matrix_power(D, n)

# 将特征矩阵V和特征值矩阵D还原为矩阵A
A_n = np.dot(np.dot(V, D), np.linalg.inv(V))

# 计算人口增长到一半的状态
x_half = np.dot(A_n, x0)

print(x_half)

输出结果为：