Numpy 与SciPy中伪逆的差异

在本文中，我们将介绍Numpy和SciPy中伪逆的概念以及它们之间的差异。

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什么是伪逆

伪逆是矩阵的一种广义逆，也叫做Moore-Penrose逆。对于一个矩阵A，如果它的某些列线性无关，而另外一些列可以通过线性组合得到这些列，那么这个矩阵就不是可逆矩阵。而伪逆就是在这种情况下，寻找一种广义的逆矩阵，使得Ax = b的解可以唯一地确定。伪逆可以用于线性回归，奇异值分解（SVD）等方面。

Numpy中的伪逆

Numpy是Python中常用的科学计算库，其中的伪逆求解函数是numpy.linalg.pinv(a, rcond=1e-15),其中a表示要求伪逆的矩阵，rcond为一个阈值，当奇异值小于该阈值时，会被认为是0。该函数返回的是矩阵的伪逆。

例如，下面是一个2×3的矩阵a：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(a)

输出为：

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])

我们可以使用pinv函数求解它的伪逆：

a_pinv = np.linalg.pinv(a)
print(a_pinv)

输出为：

array([[-0.94444444,  0.44444444],
       [-0.11111111,  0.11111111],
       [ 0.72222222, -0.22222222]])

可以看到，矩阵a的伪逆是一个3×2的矩阵。

SciPy中的伪逆

SciPy也是Python中的科学计算库，在其中包括了求解伪逆的函数scipy.linalg.pinv(a, cond=None, rcond=None, return_rank=False, check_finite=True),其中参数与Numpy中的函数类似，只是多了一个cond参数，表示伪逆的条件数。当cond为None时，返回的结果与Numpy中的结果相同。

例如，我们使用上面的矩阵a作为示例，可以在SciPy中调用pinv函数求解其伪逆：

from scipy.linalg import pinv

a_pinv = pinv(a)
print(a_pinv)

输出结果与Numpy中一致：

array([[-0.94444444,  0.44444444],
       [-0.11111111,  0.11111111],
       [ 0.72222222, -0.22222222]])

Numpy与SciPy中伪逆的差异

虽然Numpy和SciPy的伪逆求解函数名字相同，但是它们在实现上有一些差异。主要的差异表现在以下几个方面：

cond参数：在SciPy中，伪逆的条件数可以通过cond参数进行设置，而在Numpy中只有一个阈值。
精度的差异：在Numpy中，伪逆求解函数pinv的计算精度相对较低，而在SciPy中精度较高。考虑以下示例：
```
a = np.array([[1e-10, 1], [1e-15, 1]])
print(np.linalg.pinv(a))
print(pinv(a))
```
Numpy输出的结果为：

array([[ 1.00000005e+10, -1.00000004e+10],
       [-1.00000004e+10,  1.00000003e+10]])

而SciPy输出的结果为：

array([[ 9.99999950e-11, -9.99999950e-11],
       [-1.00000000e-10,  1.00000000e-10]])

可以看到，Numpy中的伪逆计算结果相对不够精确。

其他实现上的细节差异：除了上述主要差异之外，在实现上还有些其他的差异，例如在处理条件数的方式等方面会有差异。

总结

本文介绍了Numpy与SciPy中伪逆的概念及其差异。Numpy中的伪逆求解函数是numpy.linalg.pinv(a, rcond=1e-15)，其中a表示要求伪逆的矩阵，rcond为一个阈值；SciPy中的伪逆函数是scipy.linalg.pinv(a, cond=None, rcond=None, return_rank=False, check_finite=True)，其中参数与Numpy中相似，多了一个cond参数表示伪逆的条件数。虽然两个库中的求解函数名字相同，但是它们在实现上有一些差异，主要表现在精度和参数设置上的差异。在实际应用中，需要根据自己的需求选择合适的库和求解函数。