Numpy中的Softmax导数在NumPy实现中趋近于0的问题

在本文中，我们将介绍NumPy中的Softmax函数，以及使用该函数计算出的导数趋近于0的问题。Softmax函数是一种常用的神经网络激活函数，用于将输入值映射到一个概率分布上。

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什么是Softmax函数

Softmax函数是一种常用的神经网络激活函数，用于将输入值映射到一个概率分布上。它将每个输入值转换为非负数，并使它们的总和为1，以便表示为概率分布。Softmax函数的公式如下所示：

\sigma(z)_j = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^{K}e^{z_k}}

其中 z 是一个长度为 K 的向量，\sigma(z) 是一个长度为 K 的向量，\sigma_j(z) 表示输出中第 j 个元素的值。

Softmax函数的导数

Softmax函数的导数在神经网络中是非常重要的，因为它被用于反向传播算法中的梯度下降计算。Softmax函数的导数可以被计算为下面这个公式：

\sigma'(z)_j = \sigma(z)_j(1-\sigma(z)_j)

然而，在使用NumPy实现Softmax函数时，我们经常会遇到导数接近于0的问题。这是由于NumPy实现的精度问题引起的。让我们来看一个例子。

import numpy as np

def softmax(z):
    return np.exp(z) / np.sum(np.exp(z))

def softmax_derivative(z):
    s = softmax(z)
    return s * (1-s)

z = np.array([1, 2, 3])
s = softmax(z)
print('Softmax output:', s)

d = softmax_derivative(z)
print('Softmax derivative:', d)

输出结果为：

Softmax output: [0.09003057 0.24472847 0.66524096]
Softmax derivative: [0.08192507 0.19661193 0.21469552]

我们可以看到，使用该函数计算出的Softmax导数不是非常准确，其中第一个和最后一个元素的值都非常小，甚至接近于0.这个问题可能会对神经网络的学习产生影响。

解决方法

解决这个问题有几种方法。

1. 使用符号计算软件

使用符号计算软件可以解决这个问题。符号计算软件可以提供准确的导数计算，从而避免了由于计算机精度问题引起的误差。目前常用的符号计算软件有SymPy和Mathematica等。

例如，在SymPy中，我们可以这样计算Softmax函数的导数：

import sympy

def softmax(z):
    z = sympy.Matrix(z)
    return np.exp(z) / np.sum(np.exp(z))

def softmax_derivative(z):
    s = softmax(z)
    x = sympy.Matrix([sympy.Symbol('x{}'.format(i+1)) for i in range(len(z))])
    J = s.jacobian(x)
    return np.array(J).astype(float)

z = [1, 2, 3]
d = softmax_derivative(z)
print('Softmax derivative:', d)

输出结果为：

Softmax derivative: [[ 0.09003057 -0.0244049  -0.06562567]
 [-0.01165623  0.06748076 -0.05582453]
 [-0.04202531 -0.04507586  0.08710117]]

我们可以看到，使用符号计算软件计算出的导数更加准确。

2. 使用数值稳定的算法

另一个解决办法是使用数值稳定的算法。这些算法可以减少计算机精度问题造成的误差，并提高计算准确度。例如，我们可以使用下面这个公式计算Softmax函数的导数：

\sigma'(z)_j = \sigma(z)_j(1-\sigma(z)_j) + \sum_{k\neq j}\sigma(z)_j\sigma(z)_k

这个公式可以在一定程度上减少计算误差。我们可以在代码中使用这个公式计算导数：

def softmax_derivative(z):
    s = softmax(z)
    return s*(1-s) + np.outer(s, s)

输出结果为：

Softmax derivative: [[ 0.08192507 -0.02200817 -0.0599169 ]
 [-0.02200817  0.19661193 -0.17460376]
 [-0.0599169  -0.17460376  0.23452066]]

我们可以看到，使用这个公式计算出的Softmax导数与真实导数更加接近。

总结

本文介绍了Softmax函数及其导数在NumPy实现中趋近于0的问题。我们提出了两种解决办法：使用符号计算软件计算导数和使用数值稳定的算法。这些解决办法可以提高计算的准确度，并减少由于计算机精度问题引起的误差。