Numpy 抽象矩阵乘法与变量

在本文中，我们将介绍Numpy库中的抽象矩阵乘法和变量的使用。

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什么是抽象矩阵乘法？

一般来讲，我们在使用Numpy中的矩阵乘法时，是按照数学定义进行的。即，两个矩阵相乘，是将第一个矩阵的每一行和第二个矩阵的每一列对应的元素相乘，再将乘积相加得到的结果。例如，下面是两个矩阵相乘的例子：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2],
             [3, 4]])

b = np.array([[5, 6],
             [7, 8]])

c = np.dot(a, b)

print(c)

输出结果为：

[[19 22]
 [43 50]]

在这个例子中，我们使用了np.dot()函数进行矩阵乘法操作，得到的结果就是按照数学定义得到的结果。

但是，在某些情况下，我们并不想要按照数学定义进行矩阵相乘。比如，我们有两个矩阵A和B，它们的形状（或者说维度）不同，但是它们之间存在某种对应关系，使得我们可以将它们“相乘”，得到另一个矩阵C。这时，我们就需要用到抽象矩阵乘法了。

在Numpy中，抽象矩阵乘法可以使用np.einsum()函数实现。简单来说，它可以让我们自定义矩阵乘法的计算方式。

如何使用np.einsum()函数进行抽象矩阵乘法？

np.einsum()函数的语法如下：

np.einsum(subscripts, *operands, out=None, dtype=None, order='K', casting='safe', optimize=True)

其中，最重要的是第一个参数subscripts，它是一个类似于数学式子的字符串，形如“ij,jk->ik”，用来指定矩阵乘法的计算方式。

在subscripts中，每个大写字母代表一个数组，而小写字母则表示这个数组中的某个轴（或者说是维度）。例如，“i”表示第一个数组的第一个轴，“j”表示第一个数组的第二个轴，以此类推。而“->”则表示输出的结果。

举个例子，假如我们有两个形状分别为(3, 2)和(2, 4)的矩阵a和b，我们想要计算它们的“抽象乘积”，得到一个3×4的矩阵c。这个计算方式可以写成如下的subscripts：

subscripts = 'ij,jk->ik'

这里，“ij”表示数组a的第一个轴和第二个轴，而“jk”则表示数组b的第一个轴和第二个轴。 “->ik”表示输出的结果（即c的形状）。

那么，我们就可以使用np.einsum()函数进行计算了，代码如下：

a = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])

b = np.array([[7, 8, 9, 10],
              [11, 12, 13, 14]])

subscripts = 'ij,jk->ik'
c = np.einsum(subscripts, a, b)

print(c)

输出结果为：

[[ 29  32  35  38]
 [ 65  72  79  86]
 [101 112 123 130]]

以上代码的具体作用是：首先创建了两个矩阵a和b，然后使用np.einsum()函数进行矩阵乘法计算，计算方式由subscripts参数传入。最后输出结果c。

需要注意的是：np.einsum()函数中的所有数组都要以参数形式传入，且subscripts中所有的轴维度必须是匹配的，否则会报错。

如何在抽象矩阵乘法中使用变量？

在使用抽象矩阵乘法时，我们有时也需要用到变量。比如，我们有两个矩阵A和B，它们需要相乘的部分是这样的：A[:, i, j]和B[i, :, j]，其中i和j都是变量。这时，我们可以使用np.einsum()函数结合Python中的循环来实现。

具体的，我们可以先把subscripts中的i和j分别替换成Python中的循环计数变量，然后在循环中执行np.einsum()函数。示例如下：

A = np.random.rand(3, 4, 5)
B = np.random.rand(5, 2, 3)

result = np.zeros((3, 4, 2))

for i in range(3):
    for j in range(4):
        result[i, j, :] = np.einsum('xij,yij->xy', A[:, i, j], B[i, :, j])

print(result)

以上代码的具体作用是：首先创建两个随机矩阵A和B，然后根据它们的形状，创建一个结果矩阵result。接着使用两个循环变量i和j，将subscripts中的i和j替换成它们。最后执行np.einsum()函数，将计算结果保存到result矩阵中。

需要注意的是：在这里，subscripts中的“x”和“y”用于代表第一维和第二维，这是为了使得subscripts中的其它维度（即轴）与i和j不会发生冲突。