Numpy 数组广播规则

在使用Numpy进行数组计算时，通常会遇到不同形状的数组进行运算或者操作。Numpy提供了一种非常方便的解决方法，即数组广播（broadcasting）。本文将介绍Numpy数组广播规则及其应用。

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什么是数组广播

数组广播是一种在Numpy中，用于处理形状不同的数组进行算术运算的方式。Numpy会自动适应数组的形状，进行element-wise的运算。例如：

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a + b

print(c)

输出结果为

[5 7 9]

这就是数组广播的实现，Numpy自动将两个形状不同的数组，适应成为相同的形状再计算。

广播的规则

Numpy数组广播的规则如下：

1. 如果两个数组的维数不同，那么维数较少的数组在其前面补1，直到维数一致。
2. 如果两个数组在某个维度上的长度是相同的，或者其中一个数组在该维度拥有长度为1，那么我们就可以说这两个数组在该维度上是兼容的。
3. 如果两个数组在所有维度上都是兼容的，那么它们就能使用广播。
4. 根据广播的规则，输出数组的形状是输入数组形状的各个维度上的最大值。
5. 如果输入数组的某个维度大小为1，那么在对该维度进行运算时，就好像是在沿着该维度对该单元素进行运算。

理解了数组广播的规则，我们来看几个例子

不同维度长度的广播

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = 2
c = a + b

print(c)

输出结果为

[3 4 5]

在这里，我们使用了函数np.array()将整数2转化为了一个形状为(1,)的一维数组。然后，根据广播规则第一条，由于数组a的维数是1，我们就在其前面补了1，变成了形状为(1, 3)的二维数组；同时，数组b的维数也是1，也就变成了形状为(1, 1)的二维数组。最终，两个数组在第一维都有1个元素，第二维分别是3和1个元素，于是它们是兼容的，Numpy进行element-wise的运算后得到了正确的结果。

一个维度长度为1的广播

import numpy as np

a = np.array([[1], [2], [3]])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a + b

print(c)

输出结果为

[[5 6 7]
 [6 7 8]
 [7 8 9]]

在这个例子中，我们有一个形状为(3, 1)的二维数组a和一个形状为(1, 3)的二维数组b。它们都只有一个维度的长度是1，于是它们在这个维度上是兼容的。根据广播规则第四条，输出数组的形状为(3, 3)，即输入数组的形状的各个维度上的最大值。Numpy自动将两个数组广播成相同的形状，进行element-wise的运算。

实际应用

数组广播在我们日常使用Numpy进行数据计算的过程中，是非常方便的。它可以大大简化代码的编写和运行过程，提高程序的效率。下面通过一些例子来介绍其在实际应用中的使用。

广播与矩阵乘法

矩阵乘法是Numpy中常用的计算方式。但是需要满足矩阵乘法的规则，即矩阵A的列数等于矩阵B的行数。如果这个条件不满足，就需要使用数组广播。例如：

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])  # 形状为(3,)
b = np.array([[1], [2], [3]])  # 形状为(3, 1)

c = np.dot(a, b)

print(c)

输出结果为

[[14]]

Numpy进行了数组广播，正确地求解了矩阵乘法的结果。

广播与axis参数

在进行数组广播运算时，可以使用axis参数指定运算的轴。例如：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])  # 形状为(2, 3)
b = np.array([1, 2, 3])  # 形状为(3,)

c = np.sum(a * b, axis=1)

print(c)

输出结果为

[14 32]

在这个例子中，我们使用了*操作符进行广播运算，相当于每一行都乘以了形状为(3,)的一维数组b，并且将乘积再在第二个维度上求和。

广播与复杂计算

在实际应用中，经常需要进行一些复杂的数组广播计算。例如：

import numpy as np

a = np.array([[-1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
b = np.array([1.0, 2.0])

c = a * b[:, np.newaxis]

print(c)

输出结果为

[[-1.  2.]
 [ 6.  8.]]

在这个例子中，我们使用了[:, np.newaxis]来扩展形状为(2,)的一维数组b，使得它变成了一个形状为(2, 1)的二维数组。然后，我们利用数组广播，对形状为(2, 2)的数组a和形状为(2, 1)的数组b进行element-wise乘法运算。

总结

本文介绍了Numpy数组广播规则及其应用。数组广播是一种非常方便的计算方式，可以大大简化代码的编写和运行过程，提高程序的效率。在实际应用中，经常需要使用数组广播进行复杂的计算，需要熟练掌握广播的规则和应用方法。