Numpy求解带约束条件的线性系统

在本文中，我们将介绍使用Numpy求解带有约束条件的线性系统。通常情况下，我们都会将线性系统的约束条件合并在方程组中，以便一次性求解。但是，在某些情况下，我们需要在求解线性系统的同时考虑这些额外的约束，这就需要使用linalg库中的特殊函数。

阅读更多：Numpy 教程

线性系统的表示与求解

一个一般的线性系统可以用以下形式表示：

$Ax = b$

其中 A 是一个矩阵，x 和 b 是向量。如果 A 矩阵是可逆的，则方程组有唯一解。我们可以使用 Numpy.linalg.solve 函数来求解这个方程组：

import numpy as np

# 定义矩阵A和向量b
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([5, 6])

# 求解方程组 Ax=b
x = np.linalg.solve(A, b)

print(x)

运行以上代码会输出 xy 的解为 [-4. , 4.5]。

添加约束条件

在某些情况下，我们可能需要在求解线性系统的同时，考虑额外的约束条件。例如，假设我们要求解以下线性系统：

$Ax = b$

其中 A 是由以下两个矩阵组成的拼接：

$A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6 \end{pmatrix}$

假设我们有以下两个约束条件：

$x_1 \geq 0$

$x_2 \geq 0$

我们可以使用下面的方法把这些约束直接加入矩阵 A 中：

import numpy as np

# 定义矩阵A和向量b
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([5, 6, 7])

# 定义约束条件
constraint_matrix = np.array([[-1, 0], [0, -1]])
constraint_vector = np.array([0, 0])

# 将约束条件合并到矩阵A和向量b中
A = np.vstack([A, constraint_matrix])
b = np.concatenate([b, constraint_vector])

# 求解带有约束条件的方程组 Ax=b
x = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)[0]

print(x)

运行以上代码会输出 xy 的解为 [2.00000000e+00, 4.44089210e-16]。从解中我们可以看到，第一个约束条件被满足，第二个约束条件则可能由于计算误差而没有被满足。

在这个例子中，我们使用了 Numpy.linalg.lstsq 函数来求解带有约束条件的方程组。这个函数的返回值包含了最小二乘解和残差，我们只需要返回第一个值即可。