Numpy 如何解决在numpy中的”polyfit maybe poorly conditioned”问题

在数据分析中，多项式拟合是一种常见的方法，可以用来了解数据中的趋势和变化。在numpy中，numpy.polyfit()函数用于执行多项式拟合。然而，当使用该函数时，有时会出现“polyfit maybe poorly conditioned”错误。在本文中，我们将介绍如何解决这个问题。

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1. 什么是多项式拟合？

多项式拟合是一种使用回归分析来模拟数据集中关系的方法。该方法使用多项式函数来逼近真实数据集中的趋势。通常，我们可以选择一个合适的多项式度数来拟合数据，并根据实际需要对其进行修正。以下是一个多项式拟合数据的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate sample data
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.sin(x)

# Add noise to the data
y_noise = y + 0.1 * np.random.randn(100)

# Perform polynomial fitting
p = np.polyfit(x, y_noise, 5)
f = np.poly1d(p)

# Plot the results
plt.scatter(x, y_noise)
plt.plot(x, f(x), color='red')
plt.show()

该程序生成一些随机数据，并对其进行了5次多项式拟合。

你可以看到，拟合曲线相对平滑，且与真实数据点之间的误差很小。这就是多项式拟合的作用。

2. 什么是“polyfit maybe poorly conditioned”问题？

在numpy中，numpy.polyfit()函数通常用于执行多项式拟合。但是，有时在使用该函数时，会出现“polyfit maybe poorly conditioned”错误。

一般来说，“条件矩阵”是用来解决线性方程组的。当条件矩阵的行列式非常接近于零时，我们就会遇到“poorly conditioned”的问题。这种情况通常表明该方程组存在无数个解，因此导致了误差。

而当条件矩阵的行列式精度低于numpy多项式适配程式的下限时，我们就会碰到“polyfit maybe poorly conditioned”的问题。

3. 如何解决“polyfit maybe poorly conditioned”问题？

有几种方法可以解决“polyfit maybe poorly conditioned”问题。

3.1 增加拟合度数

当多项式拟合误差很大时，可以尝试将拟合度数增加一些。这通常可以减少错误，允许更好地拟合数据，从而减少条件矩阵的行列式精度。

例如，以下是使用numpy.polyfit()函数对一个数据集进行了10次多项式拟合的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate sample data
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.sin(x)

# Add noise to the data
y_noise = y + 0.1 * np.random.randn(100)

# Perform polynomial fitting
p = np.polyfit(x, y_noise, 10)
f = np.poly1d(p)

# Plot the results
plt.scatter(x, y_noise)
plt.plot(x, f(x), color='red')
plt.show()

3.2 拟合数据的缩放

另一种解决“polyfit maybe poorly conditioned”问题的方法是对拟合数据进行缩放。以使行列式精度变得更高。

例如，可以将原始的数据集除以数据的标准差，然后再进行多项式拟合。以下是一个代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate sample data
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.sin(x)

# Add noise to the data
y_noise = y + 0.1 * np.random.randn(100)

# Scale the data
x_scaled = x / np.std(x)
y_scaled = y_noise / np.std(y_noise)

# Perform polynomial fitting
p = np.polyfit(x_scaled, y_scaled, 5)
f = np.poly1d(p)

# Plot the results
plt.scatter(x, y_noise)
plt.plot(x, f(x_scaled) * np.std(y_noise), color='red')
plt.show()

可以看到，通过对数据进行缩放，我们成功地解决了“polyfit maybe poorly conditioned”问题。

3.3 使用正则化技术

另一种解决“polyfit maybe poorly conditioned”问题的方法是使用正则化技术。正则化可以防止过度拟合，从而减少条件矩阵的行列式精度。

以下是使用numpy.polyfit()函数对一个数据集进行了岭回归的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import Ridge

# Generate sample data
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.sin(x)

# Add noise to the data
y_noise = y + 0.1 * np.random.randn(100)

# Perform polynomial fitting with Ridge regularization
clf = Ridge(alpha=1.0)
X = np.vander(x, 7)
clf.fit(X, y_noise)

# Plot the results
plt.scatter(x, y_noise)
plt.plot(x, clf.predict(X), color='red')
plt.show()

以上为使用numpy.polyfit()函数进行多项式拟合的一些解决“polyfit maybe poorly conditioned”问题的方法。