Numpy 插值

什么是Numpy

Numpy是Python中一个重要的科学计算库，它提供了高性能的多维数组与维度数组对象，以及提供操作这些数组的函数。Numpy中最重要的功能是向量化操作，它允许用户直接对整个数组执行数学运算或其他操作。在数据科学中，Numpy是进行数据结构与数据处理的必备工具之一。

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插值（Interpolation）

在数学与计算机科学中，插值指的是根据已知的一些数据点，通过某种方法推算出在这些数据点之间的未知数据点的值。插值可以对一些难以或无法测量的物理量进行预测或估计。

Python中scipy库提供了插值的工具，但是在实际使用中，我们通常需要对不规则的数据点进行插值，而numpy的interpolate模块提供了一些方法既能实现内插法（interpolation），也可以完成外推法（extrapolation）。

Numpy的插值方法主要分为以下四种：

1. 线性插值（Linear Interpolation）

线性插值就是通过已知的数据点绘制一条直线，猜测其位置其它点的值。例如，在二维坐标系中，我们可以用通过已知的两个点 $(x_1,y_1)、(x_2,y_2)$ 重为例，建立一条两点的直线：

$y = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$

代码实现：

def linear_interpolate(x_known: np.ndarray, y_known: np.ndarray, x_new: np.ndarray) -> np.ndarray:
    # 直线斜率
    k = (y_known[1] - y_known[0]) / (x_known[1] - x_known[0])
    # 直线截距
    b = y_known[0] - k * x_known[0]
    # 返回插值结果
    return k * x_new + b

线性插值仅适用于数据较为规则的情况，对于不规则的数据点的插值效果不佳。

2. 多项式插值（Polynomial Interpolation）

多项式插值是通过已知的数据点拟合出一个高次多项式，从而预测其它数据点的值。

对于已知部分数据点 $(x_i,y_i)$ ，以及需要插值的点 $(x_0,y_0)$ ，多项式插值得到的预测函数可表示为：

$f(x) = a_0 + a_1(x-x_1)+a_2(x-x_1)(x-x_2)+\dots+a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)$

需要求的各项系数 $a_i$ 可通过构造矩阵与向量的方式求解。

多项式插值可以处理的数据点数量较多，但是会存在牛顿插值与拉格朗日插值结果波动的问题。

代码实现：

def poly_interpolate(x_known: np.ndarray, y_known: np.ndarray, x_new: np.ndarray, order: int) -> np.ndarray:
    # 计算插值处的加权矩阵
    X = np.zeros(shape=(len(x_known), order + 1))
    for i in range(len(x_known)):
        for j in range(order + 1):
            X[i][j] = np.power(x_known[i], j)

    theta = np.linalg.solve(X, y_known)

    # 计算插值处的预测值
    y_new = np.zeros(shape=(len(x_new),))
    for i in range(len(x_new)):
        for j in range(order + 1):
            y_new[i] += theta[j] * np.power(x_new[i], j)

    return y_new

3. 样条插值（Spline Interpolation）

样条插值是通过在已知数据点之间拟合一个连续的函数，从而预测其它数据点的值。样条插值的优点在于它在各个数据点的一阶导数值相等、二阶导数连续的条件下，插值函数有最小的弯曲程度，同时其确定系数较多可优化插值效果。

使用numpy进行样条插值：

import numpy as np
from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline

# 构造不规则数据点
x_known = np.linspace(0, 10, 500)
y_known = np.sin(x_known)

x_irr = np.sort(np.random.choice(x_known, 20, replace=False))

y_irr = np.sin(x_irr)

# 使用样条插值
spline = InterpolatedUnivariateSpline(x_irr, y_irr)

x_new = np.linspace(0, 10, 1000)
y_new = spline(x_new)

4. Kriging插值（Kriging Interpolation）

Kriging插值是一种统计学模型，它可以通过以半方差函数为基础描述样本点之间的空间自相关性，预测未知位置的数值信息。在Kriging插值中，数据点的位置不仅是插值的关键，而且数据点之间的距离与方向也起着非常重要的作用。

使用Krigin插值需要安装GeoPandas扩展包以及PyKrige库。

!pip install geopandas
!pip install pykrige

import numpy as np
import geopandas as gpd
from pykrige.ok import OrdinaryKriging

# 读取数据
data = gpd.read_file('path/to/points.shp')

x = data['x'].values
y = data['y'].values
z = data['z'].values

# 建立Kriging模型
OK = OrdinaryKriging(x, y, z)

# 用于预测的数据点位置
x_new = np.linspace(x.min(), x.max(), 1000)
y_new = np.linspace(y.min(), y.max(), 1000)

# 预测结果
z_new, _ = OK.execute('grid', x_new, y_new)

总结

插值是一种根据已知数据点预测未知数据点的方法，Numpy提供了多种插值的模块与方法。线性插值适用于规则的数据点，多项式插值可以处理更多的数据点，但存在问题；样条插值是一种弯曲程度小、优化系数多的插值方法；Kriging插值是一种广泛应用于地理空间数据分析的插值方法，需要地理信息扩展包以及专业的插值库的支持。根据不同的数据特点以及需求，选择不同的插值方法可以优化插值效果与精度。