Numpy 为何感知器学习算法无法收敛

在本文中，我们将介绍Numpy及其在机器学习中的应用以及感知器学习算法的定义及其问题。Perceptron Learning Algorithm是训练神经元的一个算法，但是它存在一个问题，就是当输入的不是线性可分的时候，收敛条件无法实现。Numpy可以用于二维数组、矩阵运算、高维数组等多方面的计算，是Python中很重要的库。

阅读更多：Numpy 教程

什么是Numpy

Numpy是Python的一种开源库，用于科学计算，在机器学习中是使用最多的库之一。其最核心的功能是多维数组对象ndarray，它是一个由同类型的元素和维度组成的数组，该库提供了很多对数组进行操作的函数，其功能包括数学、逻辑、排序、选择、IO、随机数等。

示例代码

import numpy as np

# 一维数组
a = np.array([1, 2, 3])
print(a)

# 多维数组
b = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(b)

# 数组中的元素可以进行多种运算
print(a + b)
print(a * b)

运行以上代码，可以看到输出结果如下：

[1 2 3]
[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]
[[2 4]
 [4 6]
 [6 8]]
[[1 4]
 [3 8]
 [5 12]]

什么是感知器学习算法

感知器学习算法是一种简单的算法，它是训练神经元的方法之一，与其他机器学习算法相比，它更快、更轻巧。该算法特别适用于处理二元分类问题。二元分类问题是将数据按类别分开，比如将垃圾邮件与普通邮件区分开来。该算法也可以用于多元分类问题，如手写数字识别。

感知器是一个二元分类器，它的输入是许多二进制特征且其输出值为1或-1。训练过程是在一个大数据集中进行，先随机地初始化所有的权重值，然后计算每个训练数据的误差，通过反向传播算法更新权重值。

示例代码

# 感知器学习算法
class Perceptron(object):
    """Perceptron classifier.
    Parameters
    ----------
    eta : float
        Learning rate (between 0.0 and 1.0).
    n_iter : int
        Passes over the training dataset.

    Attributes
    ----------
    w_ : 1d-array
        Weights after fitting.
    errors_ : list
        Number of misclassifications (updates) in each epoch.
    """

    def __init__(self, eta=0.01, n_iter=10):
        self.eta = eta
        self.n_iter = n_iter

    def fit(self, X, y):
        """Fit training data.
        Parameters
        ----------
        X : {array-like}, shape = [n_samples, n_features]
            Training vectors, where n_samples is the number of samples and
            n_features is the number of features.
        y : array-like, shape = [n_samples]
            Target values.
        Returns
        -------
        self : object
        """
        self.w_ = np.zeros(1 + X.shape[1])
        self.errors_ = []

        for _ in range(self.n_iter):
            errors = 0
            for xi, target in zip(X, y):
                update = self.eta * (target - self.predict(xi))
                self.w_[1:] += update * xi
                self.w_[0] += update
                errors += int(update != 0.0)
            self.errors_.append(errors)
        return self

    def net_input(self,X):
        """Calculate net input"""
        return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]

    def predict(self, X):
        """Return class label after unit step"""
        return np.where(self.net_input(X) >= 0.0, 1, -1)

代码中展示了如何使用感知器学习算法进行分类，其中fit函数是训练算法的核心。它接收一个数据集X和标签y作为输入并将模型权重w_进行更新。使用predict函数可以对未知样本进行分类。

感知器学习算法的问题

尽管感知器学习算法是一种快速且易于实现的学习算法，但它存在一个重要的问题，就是当数据集不是线性可分的时候，该算法将无法终止。这个问题可以用之前提到的二元分类为例。

非线性可分示例代码

import matplotlib.pyplot as plt

# 非线性可分的数据集
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([1, -1, -1, -1])

plt.scatter(X[:2, 0], X[:2, 1], color='red', marker='o', label='Class 1')
plt.scatter(X[2:, 0], X[2:, 1], color='blue', marker='x', label='Class -1')

plt.xlim([-0.5, 1.5])
plt.ylim([-0.5, 1.5])
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

可以看出，将这4个点分为红色和蓝色两类的情况下，没有任何一条直线可以将它们分开。因此，感知器学习算法将无法找到权重，以达到最小误差条件。