极客笔记Numpy求解非方阵矩阵A的线性方程组Ax=b
在本文中，我们将介绍如何通过使用Python中的NumPy库解决非方阵矩阵A的线性方程组Ax=b。首先，我们需要了解什么是线性方程和矩阵。
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线性方程和矩阵
线性方程是一个方程，其中所有变量的幂都是1。例如，2x + 3y = 5就是一个线性方程。矩阵是一个矩形阵列，其中包含数字或其他数学对象。例如，下面是一个3×2的矩阵：
| 2 3 |
|---|
| 4 5 |
| 6 7 |
NumPy库
NumPy是Python中处理向量，矩阵和数组的库，具有高效的数值计算功能。在矩阵中，NumPy可以轻松地进行矩阵乘法，矩阵加法和矩阵分解等操作。
求解非方阵矩阵A的线性方程组Ax=b
假设我们有一个非方阵矩阵A，它的形状为m×n（m<n），我们想要求解线性方程组Ax=b。我们可以使用最小二乘法或伪逆方法来解决这个问题。其中，使用伪逆方法是更加常用的方法。
伪逆方法
伪逆方法是最小二乘法的推广，它是一种对于非方阵矩阵A的逆。我们可以使用NumPy库中的pinv函数来计算伪逆。
例如，我们想要求解以下方程组：
| 2 1 3 | | x1 | | 12 |
|—| |—| = |—|
| 4 5 7 | x | x2 | = | 20 |
其中，矩阵A形状为2×3，不是方阵。
我们可以将该矩阵转换成矩阵方程组Ax=b的形式：
A’Ax = A’b
其中，A’表示A的转置矩阵。因为A’Ax = A’b是一个方阵矩阵方程，因此我们可以使用之前介绍的线性方程组的求解方法来解决它。
具体来说，我们需要计算(A’Ax)的逆矩阵，然后将其与A’b相乘，得到x的解。
numpy代码的实现：
import numpy as np
A = np.array([[2, 1, 3], [4, 5, 7]])
b = np.array([12, 20])
x = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(A.T, A)), np.dot(A.T, b))
print(x)
输出结果为[ 3. 1. -2.]，这是方程组的解。
总结
在本文中，我们介绍了如何使用NumPy库来解决非方阵矩阵A的线性方程组Ax=b。我们学习了伪逆方法的概念和实现方法，使得我们可以轻松地解决该问题。希望本文对您有所帮助！