在Python中集成Hermite_e系列并设置积分顺序

Hermite_e系列是数学中常用的一类多项式，它们的积分在计算中也非常有用。在Python中，我们可以使用SciPy库提供的函数来进行集成计算，并且还可以设置积分顺序来提高计算效率。本文将详细介绍如何在Python中集成Hermite_e多项式并设置积分顺序。

Hermite_e多项式及其性质

Hermite_e多项式是一类特殊的正交多项式，其定义如下：

$H_n(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中 $n\geq0$ ， $H_n(x)$ 是 $n$ 次Hermite_e多项式。Hermite_e多项式具有以下性质：

$H_n(x)$是$n$次多项式；
$H_n(x)$的最高次项系数为$2^n$；
$H_n(x)$是偶函数，即$H_n(-x)=H_n(x)$；
Hermite_e多项式正交性质： $\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}2^nn!\delta_{mn}$ ，其中 $\delta_{mn}$ 为Kronecker delta符号。

由于Hermite_e多项式的正交性质，我们可以利用它们来进行集成计算。

在Python中集成Hermite_e多项式

在Python中，我们可以使用SciPy库提供的函数hermite来求解Hermite_e多项式。下面是一个计算 $H_3(x)$ 的示例代码：

import numpy as np
import scipy.special as sps

x = np.linspace(-5, 5, 100)
H3 = sps.hermite(3)(x)

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
ax.plot(x, H3)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('H3(x)')
ax.set_title('Hermite_e polynomial H3(x)')
plt.show()

上述代码使用numpy生成一个从-5到5均匀分布的100个数据点，然后调用scipy.special.hermite函数来计算 $H_3(x)$ ，最后使用matplotlib库将计算结果可视化。

接下来，我们将使用SciPy库提供的quad函数来计算 $H_3(x)$ 的积分，示例代码如下：

import numpy as np
import scipy.special as sps

result, _ = sps.quad(lambda x: sps.hermite(3)(x)*np.exp(-x**2), -np.inf, np.inf)

print('The integral of H3(x) from -inf to inf is:', result)

上述代码首先定义了一个匿名函数，它是 $H_3(x)$ 和 $e^{-x^2}$ 的乘积。然后，使用scipy.special.quad函数来计算这个函数在 $(-\infty, \infty)$ 区间的积分，并打印输出积分结果。

设置积分顺序

在高维积分计算中，积分顺序的设置可以大大提高计算效率。在Python中，我们可以使用scipy.integrate.nquad函数来进行高维积分计算，并且支持设置积分顺序。下面是一个计算 $H_3(x_1)H_2(x_2)$ 的二维积分计算示例代码：

import numpy as np
import scipy.integrate as spi
import scipy.special as sps

H3 = sps.hermite(3)
H2 = sps.hermite(2)

def integrand(x):
    return H3(x[0])*H2(x[1])*np.exp(-x[0]**2-x[1]**2)

result, _ = spi.nquad(integrand, [[-np.inf, np.inf], [-np.inf, np.inf]], opts={'epsabs':1.49e-08, 'epsrel':1.49e-08, 'limit':50, 'order':[0,1]}, full_output=True)

print('The integral of H3(x1)H2(x2) from -inf to inf is:', result)

上述代码中定义了一个二维积分被积函数， $H_3(x_1)H_2(x_2)e^{-x_1^2-x_2^2}$ 。然后使用scipy.integrate.nquad函数进行二维积分计算，并使用opts参数来设置积分顺序为 $[0,1]$ ，也就是先对 $x_2$ 进行积分，再对 $x_1$ 进行积分。最后打印输出积分结果。