在Python中对轴0进行Chebyshev级数积分

什么是Chebyshev级数

Chebyshev级数是一种基于-Chebyshev多项式的级数表示法，可以将任意函数表示成Chebyshev序列的线性组合。

Chebyshev多项式

Chebyshev多项式是满足下列两个特性的多项式：

$T_0(x)=1$，$T_1(x)=x$
$T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$

例如，前几个Chebyshev多项式是：

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

Chebyshev级数

Chebyshev级数是指按照Chebyshev多项式系数的大小，从大到小排列的级数，其表达式如下：

$f(x)=c_0T_0(x)+c_1T_1(x)+c_2T_2(x)+\cdots$

其中， $c_i$ 是函数 $f(x)$ 在Chebyshev多项式 $T_i(x)$ 上的系数值。Chebyshev级数是一种特殊的函数分解形式，可以在有限项的情况下近似表示任意函数，是一种广泛应用于计算科学领域的技术。

对轴0进行Chebyshev级数积分

在Python中对轴0进行Chebyshev级数积分可以使用Numpy库中的chebint函数来实现。

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(-x)

n = 10
a = 0
b = 1
x = np.cos(np.pi * np.linspace(0, n, n+1)/n)
y = f((b-a)*x/2+(b+a)/2)
c = np.fft.rfft(y)/n*2
c[0] = c[0]/2
F = np.fft.ifft(c).real

I = np.zeros(n+1)
for k in range(n+1):
    I[k] = np.sum(F[:k+1])*(b-a)/2/(k+1)

print(I)

以上代码中定义了一个函数 $f(x)=e^{-x}$ ，用于在轴0上的Chebyshev级数积分中作为被积函数。 chebint函数能够根据Numpy库中的FFT算法来计算Chebyshev级数的系数，即 $c_i$ ，使得Chebyshev级数表达式 $f(x)$ 可以用 $c_i$ 的线性组合近似表示，这里使用的FFT算法是通过Numpy库的rfft函数实现的。接下来根据 $T_i(x)$ 、 $c_i$ 以及 $f(x)$ 的所有项逐项相乘，再求和即可得到Chebyshev级数积分的结果 $I$ 。