在 Python 中用一维系数数组计算笛卡尔积 x 和 y 上的 2D Hermite 级数

作为一种多项式基函数的 Hermite 多项式可以在构建有限差分、计算数字算子和处理局部化量子物理学中发挥重要作用，因此在 Python 中实现 Hermite 多项式已经被广泛应用。本文将介绍通过 Python 中的一维系数数组计算笛卡尔积 x 和 y 上的 2D Hermite 级数的方法，以实现对 Hermite 多项式的处理。

Hermite 多项式定义

先简要介绍下 Hermite 多项式的定义方式。对于整数 n 和非负整数 k，定义 Hermite 多项式 H_k(x) 满足

H_{k+1}(x) = 2xH_k(x)-2kH_{k-1}(x)

且取 H_0(x)=1 以及 H_1(x)=2x。则可以使用动态规划的方式轻松求解 Hermite 多项式。

2D Hermite 级数公式

定义如下：

H_{m,n} (x,y)=(-1)^me^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}\frac{\partial^m}{\partial x^m}\frac{\partial^n}{\partial y^n} e^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}

其中 m,n 为 Hermite 级数的次数。由于有指数函数，上述式子无法直接计算。我们可以在一维 Hermite 多项式的基础上继续运用一些技巧，实现对 2D Hermite 级数的计算。

一维 Hermite 多项式系数计算

首先我们先实现一维 Hermite 多项式的系数求取函数，该函数的输入为 m 和一个数组 x。函数输出即为 m 阶 Hermite 多项式在 x 点的值，相关代码如下：

def hermite_coeff(m, x):
    if m == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif m == 1:
        return 2 * x
    else:
        h0 = np.ones_like(x)
        h1 = 2 * x
        for i in range(1, m):
            hi = 2 * x * h1 - 2 * i * h0
            h0 = h1
            h1 = hi
        return hi

2D Hermite 多项式系数计算

在利用一维 Hermite 多项式计算 2D Hermite 级数系数时，我们可以使用逐步计算的方式。即先计算出横向部分的系数，再计算纵向部分的系数，最后将它们相乘。

下面的代码是计算在横向和纵向上对 2D Hermit 级数的计算：

def hermite_2d_coeff(m, n, x, y):
    hx = hermite_coeff(m, x)
    hy = hermite_coeff(n, y)
    factor = (-1) ** m * np.exp(-x ** 2 / 2) * np.exp(-y ** 2 / 2)
    hermite_value = factor * hx * hy
    return hermite_value

2D Hermite 多项式展示

下面的例子是展示一个二维 Hermite 多项式的方法，其中选择 m=3 和 n=4，并在 [-3,3] 的范围内绘制出来。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

N = 200  # 定义要绘制的数据点数目

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

x = np.linspace(-3,3, N)
y = np.linspace(-3, 3, N)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

hermite_value = hermite_2d_coeff(3, 4, X, Y)

im = ax.imshow(hermite_value, cmap='jet')
plt.colorbar(im)

plt.show()

结果显示了一个漂亮的 Hermite 图像，正是我们想要的结果。

结论

在本文中，我们通过 Python 中的一维系数数组计算笛卡尔积 x 和 y 上的 2D Hermite 级数，通过引入一维 Hermite 多项式进行优化，实现了在二维 Hermite 等级系数计算过程中的高效优化。最终的结果是，我们可以通过逐步计算的方式来展示并利用笛卡尔积和一维 Hermite 系数数组来计算 2D Hermite 多项式。