评估Python中具有3D系数数组的x和y的笛卡尔积上的2-D Hermite_e系列

背景

Hermite_e系列是Hermite多项式在二维的推广，经常用于二维函数逼近与插值问题中。在Python中，使用NumPy库可以便捷地实现对Hermite_e系列的计算。具有3D系数数组的x和y的笛卡尔积上的2-D Hermite_e系列可以通过以下公式计算得到：

$H_{mn}(x, y) = \frac{(-1)^m}{m! n!} e^{-(x^2+y^2)/2} \frac{\partial^m}{\partial x^m}\frac{\partial^n}{\partial y^n}(e^{x^2+y^2})$

其中， $m$ 和 $n$ 为非负整数， $x$ 和 $y$ 为变量。

实现

我们可以通过Python代码实现上述公式的计算。首先，需要导入NumPy库，以便使用其中的函数和数据结构。

import numpy as np

接着，我们需要实现该公式中的三个部分，即指数函数、二阶导数及常量系数。

def exponential(x, y):
    return np.exp(-(x**2 + y**2) / 2)

def double_derivative(m, n, x, y):
    constant = (-1)**m * np.math.factorial(n) / (np.math.factorial(m) * np.math.factorial(n - m))
    return constant * exponential(x, y) * np.polynomial.hermite_e.hermiteediv(m, x) * np.polynomial.hermite_e.hermiteediv(n, y)

def hermite_e(m, n, x, y):
    return double_derivative(m, n, x, y)

上述代码中的exponential函数实现指数函数的计算，double_derivative函数实现二阶导数及常量系数的计算，hermite_e函数则通过调用double_derivative函数得到最终的Hermite_e系列的值。

我们可以通过以下代码，在一个区域上计算出Hermite_e系列的值，并将结果保存在一个3D数组中。

xmin, xmax = -2, 2
ymin, ymax = -2, 2
step = 0.1

x = np.arange(xmin, xmax, step)
y = np.arange(ymin, ymax, step)

xx, yy = np.meshgrid(x, y)
nn, mm = np.mgrid[0:5, 0:5]

result = np.zeros((len(nn), len(mm), len(x), len(y)))

for i in range(len(nn)):
    for j in range(len(mm)):
        for k in range(len(x)):
            for l in range(len(y)):
                result[i][j][k][l] = hermite2d(nn[i][j], mm[i][j], x[k], y[l])

以上代码将x和y的范围分别设置为-2至2之间，并定义一个步长为0.1。在x和y的区域内，进行Hermite_e系列的计算并将结果存储在一个3D数组中。其中，nn和mm为0至4之间的整数矩阵，用于计算Hermite_e系列的系数。

代码测试

我们可以通过以下代码，使用matplotlib库绘制出Hermite_e系列的图像。

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure(figsize=(15, 10))

for i in range(len(nn)):
    for j in range(len(mm)):
        ax = fig.add_subplot(len(nn), len(mm), i * len(nn) + j + 1, projection='3d')
        ax.set_title('H_{},{}'.format(nn[i][j], mm[i][j]))
        ax.plot_surface(xx, yy, result[i][j], cmap=plt.get_cmap('coolwarm'))

plt.show()

在以上代码中，循环遍历系数矩阵nn和mm中的各个元素，并使用subplot绘制多张图像。在每张图像中，通过plot_surface函数绘制Hermite_e系列的值。

结论

本文通过Python代码实现了在具有3D系数数组的x和y的笛卡尔积上的2-D Hermite_e系列的计算。我们使用了NumPy库中的函数和数据结构，实现了指数函数、二阶导数及常量系数的计算，最终得到了包含Hermite_e系列的3D数组，并使用matplotlib库绘制了出该函数的图像。我们可以看到，在不同的系数下，Hermite_e系列的图像具有不同的形态，而且这种函数可以用于二维函数逼近和插值问题中。