在Python中使用三维系数数组求解点(x,y)上的二维Hermite级数

简介

Hermite级数又称作Hermite多项式。它是一种由Hermite函数生成的多项式序列。在物理学、工程学和数学中，Hermite多项式广泛应用于描述量子力学谐振器、统计物理学中的分布函数以及量子化学中的势能面。而二维Hermite级数则是在二维平面上的Hermite级数，它可以用于表示二维平面上的任意函数。

在Python中，我们可以使用numpy库来表示多维数组，对于二维Hermite级数的求解也可以利用numpy库中的三维系数数组来实现。在这篇文章中，我们将向大家介绍如何使用Python来求解任意点(x,y)上的二维Hermite级数。

Hermite级数的定义

Hermite级数是由Hermite函数生成的多项式序列，它们定义在实数轴上。一维的Hermite函数可以表示为：

$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

其中 $n$ 为非负整数。

Hermite函数还可以扩展到两个维度上，这时候就是二维Hermite函数，它的定义如下：

$H_{n,m}(x,y)=(-1)^{n+m}e^{x^2+y^2}\frac{\partial^n}{\partial x^n}\frac{\partial^m}{\partial y^m}(e^{-x^2-y^2})$

其中 $n,m$ 均为非负整数。

我们可以通过一些特殊的一维Hermite级数的线性组合来得到二维Hermite级数，具体而言，如下所示：

$f(x,y)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{m=0}^{\infty}c_{n,m}H_{n,m}(x,y)$

其中 $c_{n,m}$ 为系数，表示了每个Hermite函数在总和中的贡献。通过计算这些系数，我们可以得到二维Hermite级数的解析式。

Python实现

在Python中，我们可以使用numpy库来创建多维数组。我们可以用一个三维系数数组 $c_{n,m}$ 来表示所有的系数。下面是一些示例代码，用于计算 $c_{n,m}$ ：

import numpy as np

def calc_coef(N):
    """
    Calculate the coefficients for the 2D Hermite polynomial.

    Parameters
    ----------
    N : int
        The order of the polynomial.

    Returns
    -------
    coef : ndarray with shape = (N + 1, N + 1)
        Coefficients of the polynomial.
    """
    coef = np.zeros((N + 1, N + 1))
    for n in range(N + 1):
        for m in range(N + 1):
            coef[n, m] = ((-1) ** (n + m)) * \
                np.math.factorial(n) * \
                np.math.factorial(m) / \
                ((2 ** (n + m)) * np.math.pi * np.math.factorial(n + m))
    return coef

在这个示例代码中，我们计算生成系数数组 $c_{n,m}$ 的公式为：

$c_{n,m}=(-1)^{n+m}\frac{\sqrt{n!m!}}{2^{n+m}\pi(n+m)!}$

需要注意的是，在Python中求阶乘值可以使用math库中的factorial函数来实现。

在得到了系数数组之后，我们就可以用它来计算任何点 $(x,y)$ 上的二维Hermite级数了。

def calc_hermite(x, y, N, coef):
    """
    Calculate the 2D Hermite polynomial at position (x, y).

    Parameters
----------
    x : float
        x-coordinate of the position.
    y : float
        y-coordinate of the position.
    N : int
        The order of the polynomial.
    coef : ndarray with shape = (N + 1, N + 1)
        Coefficients of the polynomial.

    Returns
    -------
    res : float
        The value of the polynomial at position (x, y).
    """
    res = 0
    for n in range(N + 1):
        for m in range(N + 1):
            res += coef[n, m] * \
                hermite(n, x) * \
                hermite(m, y)
    return res

def hermite(n, x):
    """
    Calculate the n-th order Hermite polynomial at x

    Parameters
    ----------
    n : int
        The order of the polynomial
    x : float
        The input value at which to evaluate.

    Returns
    -------
    value : float
        The value of the Hermite polynomial at x.
    """
    if n == 0:
        return 1.0
    elif n == 1:
        return 2.0 * x
    else:
        return 2.0 * x * hermite(n - 1, x) \
            - 2.0 * (n - 1) * hermite(n - 2, x)

如上所示，我们使用两个嵌套的for循环来遍历系数数组，同时在每个循环中计算适当的Hermite函数的值。最终，我们将每个单独计算出的系数值相加，得到二维Hermite级数在点 $(x,y)$ 上的值。

需要注意的是，当前示例代码处理的是从0到 $N$ 次的Hermite级数，但我们可以调整系数数组大小以处理其他数量的级数。