在Python中使用1D系数数组在点（x，y）处计算2-D Hermite级数

介绍

Hermite级数是一种数学级数，可以用来近似某些函数。在计算机图形学中，Hermite级数在曲面建模中得到广泛应用。本文将介绍如何在Python中使用1D系数数组来计算2-D Hermite级数。

Hermite级数

Hermite级数通常写成以下形式：

f(x,y) = Σn=0..N Σm=0..M cnm * Hn(x) * Hm(y)

其中，Hn(x)和Hm(y)是Hermite多项式，cnm是1D系数数组。

Hermite多项式可以通过以下公式计算：

Hn(x) = (-1)^n * e^(x^2) * (d^n/dx^n (e^(-x^2)))

其中，d^n/dx^n表示对x求导n次。

通常情况下，Hermite级数的系数数组是预先计算并存储的，可以通过读取的方式得到。下面将介绍如何使用1D系数数组在点（x，y）处计算Hermite级数。

Python代码

下面的代码演示了如何使用1D系数数组在点（x，y）处计算2-D Hermite级数。假设我们有一个长度为N*M的1D系数数组cnm。

import numpy as np
from numpy.polynomial.hermite import Hermite


def hermite_coefficients(n, m, cnm):
    """
    This function returns the coefficients of 2-D Hermite polynomial.
    """
    coeff = np.zeros((n+1, m+1))
    for i in range(n+1):
        for j in range(m+1):
            for k in range(i+1):
                for l in range(j+1):
                    coeff[i,j] += cnm[k * M + l] * Hermite(k)(x) * Hermite(l)(y)
    return coeff

def hermite(x, y, cnm):
    """
    This function calculates the value of 2-D Hermite polynomial at (x,y)
    """
    n = cnm.shape[0] - 1
    m = cnm.shape[1] - 1
    coeff = hermite_coefficients(n, m, cnm)
    res = 0
    for i in range(n+1):
        for j in range(m+1):
            res += coeff[i,j] * Hermite(i)(x) * Hermite(j)(y)
    return res

在上面的代码中，函数hermite_coefficients（）计算2-D Hermite多项式的系数，而函数hermite（）使用系数计算在点（x，y）处的2-D Hermite多项式的值。

使用示例

在下面的示例代码中，我们将使用上面的2个函数来计算在点（1，2）处的2-D Hermite多项式的值。

x = 1
y = 2

# Let's assume that we have a 1D coefficient array of size N*M
N = 4
M = 5
cnm = np.random.rand(N*M)

print(f"2-D Hermite polynomial at ({x},{y}) is {hermite(x,y,cnm)}")