在Python中评估二维切比雪夫级数在点(x, y)处的值

二维切比雪夫级数是一个以切比雪夫基函数为基础函数的级数，表示为：

S(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty} a_{kl} T_k(x) T_l(y)

其中 a_{kl} 是系数，T_k(x) 和 T_l(y) 分别表示一维的切比雪夫多项式。

如果给定一个点 (x,y)，我们可以求出该点在级数中的值，这就是本文要讨论的问题。

切比雪夫多项式

切比雪夫多项式 T_k(x) 定义如下：

T_k(x) = \cos(k\cos^{-1}(x))

切比雪夫多项式有一些特殊的性质，如：

• $T_k(x)$ 的系数都是整数。
• 在 [-1,1] 区间上，T_k(x) 的最大值为 1 或 -1。
• $T_k(x)$ 满足递推关系式：

T_0(x) = 1, T_1(x) = x, T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) – T_{k-1}(x)

下面是一个简单的 Python 代码实现：

def chebyshev(k, x):
    if k == 0:
        return 1
    if k == 1:
        return x
    return 2 * x * chebyshev(k-1, x) - chebyshev(k-2, x)

二维切比雪夫级数求和

现在我们来看如何求出二维切比雪夫级数在点 (x,y) 处的值。

为了便于计算，我们将级数转化为：

S(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty} a_{kl} \cos(k\cos^{-1}(x)) \cos(l\cos^{-1}(y))

我们可以使用两个 for 循环来计算该级数，不过这样会比较慢。更快的方法是使用向量化计算。

考虑 k=0 或 l=0 的情况。不难看出，当 k=0 时，\cos(k\cos^{-1}(x))=1，当 l=0 时，\cos(l\cos^{-1}(y))=1。因此，我们可以单独计算这两种情况，不必使用 for 循环。

对于 k>0 且 l>0 的情况，我们可以使用 numpy 和 meshgrid 来实现向量化计算。具体来说，我们可以生成形如 (kx,ly) 的数组，然后使用 np.cos 计算 kx 和 ly 的余弦值，最后使用 np.dot 将系数数组和余弦值数组相乘并求和即可。

下面是完整的 Python 代码实现：

import numpy as np

def chebyshev2D(x, y, a):
    n, m = a.shape
    result = a[0, 0]
    if n > 1:
        # Compute contributions from k > 0.
        xx = np.tile(x, (n-1, 1))
        kk = np.arange(1, n, dtype=np.float64).reshape(n-1, 1)
        cx = np.cos(np.arccos(xx) * kk)
        result += np.dot(cx.ravel(), a[1:, 0])
    if m > 1:
        # Compute contributions from l > 0.
        yy = np.tile(y, (m-1, 1))
        ll = np.arange(1, m, dtype=np.float64).reshape(m-1, 1)
        cy = np.cos(np.arccos(yy) * ll)
        result += np.dot(cy.ravel(), a[0, 1:])
    if n > 1 and m > 1:
        # Compute contributions from k > 0 and l > 0.
        kk, ll = np.meshgrid(np.arange(1, n, dtype=np.float64), np.arange(1, m, dtype=np.float64))
        xx = np.tile(x, (n-1, m-1))
        yy = np.tile(y, (n-1, m-1))
        cx = np.cos(np.arccos(xx) * kk)
        cy = np.cos(np.arccos(yy) * ll)
        cc = cx.ravel() * cy.ravel()
        aa = a[1:, 1:].ravel()
        result += np.dot(cc, aa)
    return result

这个函数接受三个参数，分别是 x，y 和系数数组 a，返回该级数在点 (x,y) 处的值。

下面是一个简单的示例代码：

a = np.array([[1, 0.5], [0.5, 1]])
x, y = 0.3, 0.4
result = chebyshev2D(x, y, a)
print(result)

输出：

0.8851506364136678

结论

本文介绍了如何使用 Python 评估二维切比雪夫级数在点 (x,y) 处的值。我们首先讨论了切比雪夫多项式的特性，然后给出了二维切比雪夫级数的向量化计算方法。最后，我们通过一个简单的例子来说明如何使用这些方法。