在Python中将一个切比雪夫级数除以另一个

切比雪夫级数是一类基于无穷多个余弦函数的级数，在信号处理、图像处理、数字信号处理等领域具有广泛的应用。在实际问题中，我们有时也需要将一个切比雪夫级数除以另一个，本文将介绍如何在Python中实现该操作。

切比雪夫级数简介

先简单介绍下切比雪夫级数。设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，那么它在该区间上的切比雪夫级数表示为：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\pi x),$

其中 $a_0,a_1,a_2,\cdots$ 是级数中每个余弦函数的系数，可以通过下式计算：

$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 f(x)\cos(n\pi x)dx,\quad n=0,1,2,\cdots$

根据三角函数的周期性，该级数还可以表示为：

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty b_nT_n(x),$

其中 $T_n(x)$ 是切比雪夫多项式，定义在 $[-1,1]$ 上。系数 $b_n$ 可表示为：

$b_n=a_n,\quad n=0,1,2,\cdots\ b_n=\frac{a_n}{2},\quad n=1,2,3,\cdots$

切比雪夫级数除法

切比雪夫级数除法即求出一个切比雪夫级数 $g(x)$ ，使得 $t(x)=f(x)/g(x)$ 。我们可以采用最小二乘法或者傅里叶变换的方法来求解。这里我们采用傅里叶变换的方法。

傅里叶变换法

由于 $T_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是一组正交基，可以将任意函数 $f(x)$ 在该基下展开：

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nT_n(x)$

将 $f(x)$ 代入 $t(x)=f(x)/g(x)$ 得：

$t(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{d_n}T_n(x)$

其中 $d_n$ 为 $g(x)$ 对应的系数。由于 $T_n(x)$ 的正交性，我们可以用内积来求解 $d_n$ ：

$d_n=\frac{\int_{-1}^1g(x)T_n(x)dx}{\int_{-1}^1T_n^2(x)dx}=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1\frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\cos(n\arccos x)dx$

上式中的 $\sqrt{1-x^2}$ 是切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 的归一化系数。

定义 $f(x)$ 和 $t(x)$ 的Fourier系数如下：

$\hat{c}_n=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x)dx,\quad n=0,1,2,\cdots\ \hat{d}_n=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1t(x)\cos(n\pi x)dx,\quad n=0,1,2,\cdots$

根据Fourier系数，上式可以表示为：

$\hat{d}_n=\frac{\hat{c}_n}{\hat{b}_n}$

其中 $\hat{b}_n$ 为 $g(x)$ 的Fourier系数，为：

$\hat{b}_n=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1g(x)\cos(n\pix)dx,\quad n=0,1,2,\cdots$

那么我们就可以通过逐项计算求出 $g(x)$ 的Fourier系数 $\hat{b}_n$ ，从而得到 $g(x)$ 的级数形式。

下面，我们来看一下用Python如何实现该方法。

Python实现

首先，我们需要定义一个函数来计算切比雪夫多项式 $T_n(x)$ ：

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

接着定义一个函数来计算Fourier系数：

def fourier_coeff(f, n):
    coeffs = []
    for i in range(n+1):
        coeff = 2 / np.pi * np.trapz(f * np.cos(i * np.pi * np.arange(f.size) / f.size), dx=1/f.size)
        coeffs.append(coeff)
    return np.array(coeffs)

其中，f为输入函数，n为需要计算的Fourier系数的数量。在上面的函数中，我们使用了numpy的trapz函数来计算积分。

接下来，定义一个函数来计算 $g(x)$ 的Fourier系数：

def chebyshev_divide(coeffs_f, coeffs_t, n, tol=1e-16):
    coeffs_g = np.zeros_like(coeffs_t)
    coeffs_g[0] = coeffs_f[0] / coeffs_t[0]
    for i in range(1, n+1):
        d = fourier_coeff(1/chebyshev_poly(i, np.linspace(-1, 1, coeffs_t.size)), n)
        coeffs_g[i] = coeffs_f[i] / coeffs_t[i] if abs(coeffs_t[i]) > tol else 0
        for j in range(i):
            coeffs_g[i] -= coeffs_g[j] * d[i-j]
    return coeffs_g

其中coeffs_f为 $f(x)$ 的Fourier系数，coeffs_t为 $t(x)$ 的Fourier系数，n为需要计算的Fourier系数的数量，tol为一个阈值，用于判断 $g(x)$ 的某个系数是否为0。

最后，我们可以用一个示例函数来测试上述方法的正确性：

def example(x):
    return np.abs(x) * np.sin(2*np.pi*x) * np.exp(-x**2/1.5)

coeffs_f = fourier_coeff(example(np.linspace(-1, 1, 100)), 20)
coeffs_t = fourier_coeff(example(np.linspace(-1, 1, 100) / 2), 20)

coeffs_g = chebyshev_divide(coeffs_f, coeffs_t, 20)

def series(x, coeffs):
    y = np.zeros_like(x)
    for n, coeff in enumerate(coeffs):
        y += coeff * chebyshev_poly(n, x)
    return y

x = np.linspace(-1, 1, 1000)
t = example(x / 2)
g = series(x, coeffs_g)
print(np.max(np.abs(g - t)))

在上述代码中，我们定义了一个示例函数example(x)，并计算出其在 $[-1,1]$ 上的20个Fourier系数。接着，我们定义了 $t(x)=f(x)/g(x_2)$ ，其中 $f(x)$ 为示例函数在 $[-1,1]$ 上的函数值， $g(x_2)$ 为示例函数在 $[-1/2,1/2]$ 上的切比雪夫级数表示形式的函数值。然后，我们用chebyshev_divide函数来计算 $g(x)$ 的20个Fourier系数，并用series函数来计算出 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的函数值。最后，我们将 $t(x)$ 和 $g(x)$ 的函数值绘制在同一张图上，并比较它们之间的误差。运行上述代码，得到如下的结果：