极客笔记在 Python 中计算二维 Hermite_e 级数在 x 和 y 的笛卡尔积上的值
背景介绍
在数学中，Hermite_e 级数通常用于表示一个二维函数，类似于 Fourier 级数。它们在表示日常生活中出现的许多问题时都是非常有用的，例如量子力学和冷原子物理学中的波函数等。给定一个封闭区域 [a, b] × [c, d] \subseteq R^2，我们可以将其分成 N × M 个单元，其中 N 和 M 是整数。此时我们可以使用 Hermite_e 级数对其进行展开：
f(x, y) = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}c_{nm}H_n(x)H_m(y)
其中 H_n(x) 和 H_m(y) 是 Hermite 多项式，c_{nm} 是系数。在实际计算过程中，通常需要截取到一定的级数 K：
f_K(x, y) = \sum_{n=0}^{K}\sum_{m=0}^{K}c_{nm}H_n(x)H_m(y)
因此，本文将介绍如何使用 Python 在笛卡尔积上计算二维 Hermite_e 级数的值。
准备工作
在开始计算之前，我们需要安装一些 Python 库和插件。具体地，我们将需要安装 numpy，scipy 和 sympy 这三个库。使用以下命令进行安装：
!pip install numpy
!pip install scipy
!pip install sympy
计算过程
在 Hermite_e 级数的计算中，最重要的两个问题是如何计算 Hermite 多项式和如何确定系数 c_{nm}。下面将以 numpy 库和 sympy 库为例分别介绍两个问题的处理方法。
计算 Hermite 多项式
为了计算 Hermite 多项式，我们可以使用 sympy 库中的 hermite 函数。在 sympy 库中，我们可以轻松地定义一个 Hermite 多项式：
from sympy import hermite, symbols
x, n = symbols('x n')
hermite(n, x)
上述代码将输出 H_{n}(x)，并使用符号 x 和 n 表示 Hermite 多项式中的自变量和阶数。请注意，为了在笛卡尔积上计算 Hermite_e 级数，我们需要计算两个 Hermite 多项式的乘积 H_n(x)H_m(y)。为此，我们还需要计算 Hermite 多项式的乘积，可以使用 sympy 库中的 expand 函数来获取 Hermite_e 多项式的展开式：
from sympy import expand
expand(hermite(n, x) * hermite(m, y))
上述代码将输出多项式 H_n(x)H_m(y) 的展开式。值得注意的是，在计算 Hermite_e 多项式时，我们通常需要递归地计算所有 Hermite 多项式的乘积，这是因为 Hermite 多项式乘积中的阶数通常是未知的。通过递归地调用 Hermite 多项式的乘积，我们可以轻松地计算多项式的展开式。
确定系数 c_{nm}
确定 Hermite_e 级数中的系数 c_{nm} 是一个相当复杂的问题。通常，我们可以使用 numpy 库中的线性代数函数来解决该问题。对于 f_K(x,y) 进行求和，得到 Hermite_e 级数的表达式：
import numpy as np
from sympy import hermite, symbols
x, y, n, m = symbols('x y n m')
def hermite_e(x, y, c, K):
result = np.zeros_like(x)
for n in range(K+1):
for m in range(K+1):
result += c[n, m] * hermite(n, x) * hermite(m, y)
return result
def find_coefficients(K, a, b, c, d, f):
N = 2 * K + 1
M = N
x, y, z = symbols('x y z')
H = np.zeros((N, M), dtype=object)
for n in range(N):
for m in range(M):
H[n, m] = hermite(n, x) * hermite(m, y)
A = np.zeros((N*M, N*M))
b = np.zeros(N*M)
for i in range(N):
for j in range(M):
index = i*M + j
for k in range(N):
for l in range(M):
A[index, k*M+l] = H[k, l].subs({x:a, y:c})
b[index] = f(a, c)
for k in range(N):
for l in range(M):
A[index, k*M+l] += H[k, l].subs({x:a, y:d})
b[index] -= f(a, d)
for k in range(N):
for l in range(M):
A[index, k*M+l] += H[k, l].subs({x:b, y:c})
b[index] -= f(b, c)
for k in range(N):
for l in range(M):
A[index, k*M+l] += H[k, l].subs({x:b, y:d})
b[index] += f(b, d)
c = np.linalg.solve(A, b)
c = np.reshape(c, (N, M))
return c
在上述代码中，我们首先定义了一个 hermite_e 函数和一个 find_coefficients 函数。hermite_e 函数接受 Hermite_e 级数的两个自变量 x 和 y、系数矩阵 c、截断级数 K，并根据公式计算二维 Hermite_e 级数在 (x,y) 上的值。find_coefficients 函数接受 Hermite_e 级数的截断级数 K、区域边界 [a,b] \times [c,d]、函数 f(x,y)，并使用线性代数方法求解系数矩阵 c。对于系数矩阵 c 的求解，我们首先定义了一个 N \times M 的 Hermite 多项式矩阵 H，并将其用于构建线性方程组的系数矩阵 A 和右侧向量 b。最后，我们使用 numpy 的 linalg.solve 函数求解线性方程组，得到系数矩阵 c。
现在，我们可以使用上述代码对 Hermite_e 级数进行求解了。首先，我们需要定义计算的 Hermite_e 级数和区域范围：
a = -1.0
b = 1.0
c = -1.0
d = 1.0
def f(x, y):
return np.exp(x*y)*np.sin(np.pi*x)*np.cos(np.pi*y)
K = 20
然后，我们可以使用 find_coefficients 函数计算系数矩阵 c：
c = find_coefficients(K, a, b, c, d, f)
最后，我们可以使用 hermite_e 函数进行计算并绘制结果：
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(a, b, 100)
y = np.linspace(c, d, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = hermite_e(X, Y, c,K)
fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='coolwarm')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title(f'Hermite_e series with K={K}')
plt.show()
上述代码将绘制 Hermite_e 级数的三维图形，其中包含 x 和 y 上的笛卡尔积和在每个点上的 Hermite_e 级数值。您可以根据需要更改 K 和 f 的定义来计算具有不同参数的 Hermite_e 级数。
结论
本文介绍了如何在 Python 中计算二维 Hermite_e 级数在笛卡尔积上的值。我们使用 sympy 库进行 Hermite 多项式的计算，使用 numpy 库进行系数矩阵的求解。最后，我们使用 matplotlib 库绘制了 Hermite_e 级数的三维图形。通过本文的介绍，您可以了解如何使用 Python 计算 Hermite_e 级数，并可以将其用于解决涉及 Hermite_e 级数的实际问题。